Bernoulli Experiment bzw. Kette

Question

folgende 2 Aufgaben sind gegeben:

a) Wie viele Erfolge können in einem n-stufigen Bernoulli-Experiment höchstens auftreten? Begründen Sie daraus µ ≤ n

Meine Antwort hier wäre: Es können höchstens n Erfolge auftreten, denn entweder ist das Ereignis ein Erfolg oder nicht, bei zB n=5 können maximal 5 Erfolge auftreten.

Wie kann man jetzt jedoch daraus µ ≤ n begründen?

b) Wo nimmt die Parabelfunktions y(p) = p(1-p) ihr Maximum an= Begründen Sie daraus: σ² ≤ n/4

Hier fehlt mir leider jeglicher Ansatz das zu begründen...

!

Answer 1

Wie kann man jetzt jedoch daraus µ ≤ n begründen?

\( \begin{aligned}\mu &= \sum_{k=0}^n k\cdot \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}\\&<\sum_{k=0}^n n\cdot \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}\\&=n\cdot\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}\\&=n\cdot\left(p+\left(1-p\right)\right)^n\\&=n\cdot 1^n\\&=n\end{aligned} \)

Wo nimmt die Parabelfunktions y(p) = p(1-p) ihr Maximum an

In der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.

Comments

Danke für die Antwort.  Zu b) => Wie kann ich hieraus σ² ≤ n/4  begründen?

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Brauchst du so gar nicht.

Der Erwartungswert für die Trefferanzahl einer Bernoullikette wird mit n*p berechnet, und wegen 0<=p<=1 ist n*p<=n.

Die Varianz ist n*p*(1-p)=n*(p-p²).

Dieser Term wird maximal für p=0,5 und ist somit kleiner oder gleich n*(0,5-0,25).