Grenzwert einer Konvergenten Reihe bestimmen

Question

Aufgabe:

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(a+k)(a+1+k)} \text { mit } a>0$$

Problem/Ansatz:

Hier bin ich wieder einmal :). Ich habe hier ein Problem, und zwar Konvergiert die folge gegen 1/a aber ich weiß nicht wie ich das sinnvoll umformen kann um das herauszufinden. Die Konvergenzkriterien zeigen ja nur, dass die Folge konvergiert.

Mit Freundlichen Grüßen

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Vom Duplikat:

Titel: Grenzwert einer Konvergenten Reihe bestimmen(2)

Stichworte: konvergenz,reihen,grenzwert,analysis,folge

Aufgabe:

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(a+k)(a+1+k)} \text { mit } a>0$$

Problem/Ansatz:

Hier bin ich wieder einmal :). Ich habe hier ein Problem, und zwar Konvergiert die folge gegen 1/a aber ich weiß nicht wie ich das sinnvoll umformen kann um das herauszufinden. Die Konvergenzkriterien zeigen ja nur, dass die Folge konvergiert.

Mit Freundlichen Grüßen

Answer 1

Tipp: $\displaystyle\frac1{(a+k)(a+1+k)}=\frac1{a+k}-\frac1{a+1+k}$.

Answer 2

Mit dem Tipp von Spacko erhältst du eine

"Teleskopsumme". Ohne Summenzeichen sieht die so aus

1/a  -  1/(a+1)  + 1/(a+1) - 1/(a+2)  + 1/(a+2)  - 1/(a+3) …………….

Außer dem 1. Summanden heben sich alle gegenseitig auf.

Comments

Außer dem 1. Summanden heben sich alle gegenseitig auf.

Wie z.B. auch hier :
1 - 2 + 2 - 3 + 3 - 4 + 4 - 5 + 5  ...

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Grenzwert einer Konvergenten Reihe bestimmen.

Es ist besteht keine Notwendigkeit, die Konvergenz noch zeigen zu müssen.

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die Konvergenz noch zeigen zu müssen

Das würde nicht einmal ausreichen, wie die Reihe über a_n = n - n zeigt, die in der Form 
1 - 1 + 1 - 1 + 1  ...  geschrieben m.s Argumentation als zu kurz gegriffen erweist.

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Es war bekannt:

"Die Konvergenzkriterien zeigen ja nur, dass die Folge konvergiert."