Arithmetisches und geometrisches Mittel: Beweisen Sie, dass fur alle x ∈ ℝ gilt: exp(x − 1) > x

Question

(Arithmetisches und geometrisches Mittel) In Zukunft brauchen wir folgende Ungleichung, die für alle nicht negativen reellen Zahlen

$$\frac { { a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+{ a }_{ 3 }+..........{ a }_{ n } }{ n } \ge \sqrt [ n ]{ { a }_{ 1 }{ a }_{ 2 }{ a }_{ 3 }.....{ a }_{ n } }   (1)$$

Beweisen Sie diese Ungleichung in zwei Schritten:

(a) Beweisen Sie, dass für alle x ∈ ℝ gilt:

exp(x − 1) > x (2)

(b) Sei $$c=\frac { { a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+{ a }_{ 3 }+..........{ a }_{ n } }{ n }$$

Aus n Ungleichung (2) für x = a_i / c, i = 1,......,n leiten Sie die Ungleichung (1) ab.

Answer 1

Hallo

y=x ist die Tangente an exp(x-1) die Funktion liegt über ihrer Tangente, (Begründung mit Steigung für x>1 und x<1

Gruß lul

Comments

Hallo lul, kannst du das eventuell noch näher erläutern?

wie kann man damit die Ungleichung 1 von 2 Ableiten?

Gruß, Chickon

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Hallo

 ich hab nur auf die Frage nach Ungleichung 2 geantwortet.

Gruß lul

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Hallo∏

 nimm den ln der Ungl 2, dann addiere auf über alle ai/c-1 links und über die ln(ai/c)=ln(ai)-ln(c)

 dann Summe über die lnai = ln(Produkt ai) dann noch möglichst gut umformen und 1/n*ln(A)=ln(A^1/n) verwenden und du kommst wenn du am Ende wieder exp anwendest auf das Ergebnis.

man hat irgendwann 0>ln(∏ai)-nln(c) dann durch n teilen,

Gruß lul