relative Kondition berechnen mit Taylorapproxation

Question

Berechnen Sie die relative Kondition κ von
$$ \frac{1-cos(x)}{x^{2}} $$ 
für x an der Stelle 0. Hinweis: Formen Sie erst um und nutzen Sie dann die Taylorapproximationen cos(x) = \( \frac{1-x^{2}}{2+o(x^{3})} \)und sin(x) = x + o(\( x^{2} )\)  bevor sie den Grenzwert
ermitteln.

Benötige Hilfe da ich mit Taylor-Approximation nicht klar komme :(

Comments

Schreib erstmal hin, wie relative Kondition definiert ist. Oder soll man hier einfach Grenzwert x--->0 vom gegebenen Zerm nehmen? Dann braucht man aber die gegebene Taylorentwicklung  vom sinus nicht.

Achso ist googlebar ;).

Answer 1

Hallo

 die Taylorapproximationen musst du ja nicht finden, sie sind ja gegeben, also ersetze cos und seine Ableitung  -sin einfach durch die gegebenen Ausdrücke .

Gruß lul

Answer 2

f(x)=(1-cos(x))/x^2

f'(x)=(sin(x)*x-2+2cos(x))/x^3 (ergibt sich aus Quotientenregel )

k=f'/f *x

=(sin(x)*x-2+2cos(x))/(1-cos(x))

Taylor einsetzen:

≈(x^2-2+2 -x^2)/(x^2/2)

=0

k(0)=0

Comments

Implementiert man die Formel, zeigt sich das Problem für x nahe 0 trotzdem fehleranfällig. Woran liegt das dann ?

Wie kann man das verhindern ? @jc2144

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Den Grenzwert habe ich nochmal mit Wolfram geprüft, kommt 0 raus. Ich habe einfach die Formel für die relative Kondition von Wikipedia genommen, hoffe mal das passt.

Was hast du genau implementiert und gemacht? Der Teil ist eher ne Frage für die Stack lounge, da kenn ich mich nicht so aus ;)

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okay danke :)

Aber wieso hast du (1-cos²(x))/x²

Ich dachte es ist nur (1-cos(x))/x² @jc2144

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Achso ich hab mich ganz oben verlesen, ich korrigiere nochmal.

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Jetzt sollte alles stimmen, es kommt weiter k=0 heraus.