Ist dieser Ausdruck eine Gleichung? 2∫ x * e^{x} dx = x * e^{x} - ∫ e^{x} dx

Question

Es geht um eine einfache Aufgabe, die ich aber irgendwie nicht hinbekomme.

2∫ x * e^x dx

Die Lösung ist einfach, aber der Punkt ist jetzt folgender Schritt :

2∫ x * e^x dx = x * e^x - ∫ e^x dx 

Gilt hier das "="? Wenn ja, warum?

Dann ist :

= 2x * e^x - 2e^x + C

Das ist ja richtig, aber stimmt auch Version 2?

2∫ x * e^x dx = x * e^x - ∫ e^x dx I * 2

4∫ x * e^x dx = 2x*e^x - 2∫e^x dx

= 2x*e^x - 2e^x +C

Welche Version stimmt und warum?

Danke.

Answer 1

Nach der partiellen Integration gilt

∫ x*e^x dx = x*e^x - ∫ e^x dx

∫ x*e^x dx = x*e^x - e^x + C

∫ x*e^x dx = (x - 1)*e^x + C

Deine Gleichung in der nur die linke Seite den Faktor 2 enthält dürfte verkehrt sein.

Wenn du davor noch den Faktor 2 hattest sollte gelten

2 * ∫ x*e^x dx = 2 * (x - 1)*e^x + C

Comments

Also stimmt Version 2? Wenn ich beide Seiten mit *2 ausgleiche, ist dann die Gleichheit gegeben?

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Nein. Es gilt

∫ x*e^x dx = x*e^x - ∫ e^x dx

und wenn du mit 2 multiplizierst dann auch

2 * ∫ x*e^x dx = 2 * x*e^x - 2 * ∫ e^x dx

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Gut, ist notiert. Vielen Dank.

Answer 2

Es gilt

(I) ∫f′g = fg − ∫fg′

Mit f'(x) = e^x und g(x) = x steht in (I) das gesuchte (ohne Faktor 2)

Der Faktor 2 muss auf beiden Seiten angewandt werden (nicht nur links):

(II) 2 * ∫f′g = 2 * fg − 2 * ∫fg′

Answer 3

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Answer 4

"Welche Version stimmt und warum?"

Frage nicht. Leite deine Versionen ab und prüfe selbst.

Comments

Sehr freundliche Antwort...

So weit war ich auch. Die Ergebnisse sind gleich, die mögliche Stammfunktion ist korrekt. Die Frage war ja eher wie ich mit dem Vorfaktor arbeiten soll.