Extremwertaufgabe mit Dreiecksflächen

Question

Die Aufgabe lautet:

Für -1 ≤ x ≤ 2 beschreibt die Fläche unterhalb des Graphen von h die Seitenfläche der zweiten Bahn. Die Seitenfläche soll zweifarbig gestaltet werden. Dazu werden für 0 ≤ t ≤ 1 Dreiecke mit den Eckpunkten A(-1 I 0 ), B( 1 I 0 ) und C(t I h(t)) betrachtet, welche die Seitenfläche jeweils in drei Flächen unterteilen. Es gibt zwei Werte für t so, dass der Inhalt der Dreiecksfläche genau so groß ist wie der Inhalt der übrigen Flächen.

1. Bestimmen Sie diese Werte.

2.Bestimmen Sie einen Wert für t so, dass die Dreiecksfläche den größten Inhalt hat.

3. Untersuchen Sie für t = 0,4 , um wie viel Prozent die Fläche links des Dreiecks größer ist als die Fläche, die rechts des Dreiecks liegt.

h(x) = e^{-x^3+0,5x}

Problem/Ansatz:

Für die 1. Aufgabe:

Damit der Inhalt der drei Flächen gleich groß ist, muss ich erst einmal wissen wie groß der Inhalt überhaupt ist. Hab daraufhin das Integral von -1 bis 2 berechnet und komme auf 2,182m^2. Um dies auf drei große Flächen aufzuteilen, hab ich 2,182 durch 3 dividiert und kam auf 0,7273. Dem entsprechend muss der Flächeninhalt des Dreiecks 0,7273 groß sein. Wie rechne ich das nun weiter ? Ich muss auf einen Punkt auf dem Graphen kommen, der diesen Flächeninhalt hat. Wäre sehr nett wenn ihr mir bei den anderen Aufgaben auch helfen würdet !

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

1. Der Inhalt des Dreiecks muss das der halben Fläche sein.

A = 1/2 * g * h = 1/2 * 2 * h(t) = 1/2 * 2.182 --> x = 0.5949 ∨ x = 0.1869

2. Das Dreieck hat den größten Inhalt wenn die Höhe maximal wird

h'(t) = 0 --> x = 0.4082

3. Fläche links und rechts des Dreiecks bestimmen und den prozentualen Unterschied bestimmen.

AL = ∫ (-1 bis 0.4) (h(t)) dt - 1/2·1.4·h(0.4) = 0.6477

AR = ∫ (0.4 bis 1) (h(t)) dt - 1/2·0.6·h(0.4) = 0.2330

p% = 0.6477/0.2330 - 1 = 1.7798 = 177.98% größer

Comments

Ich verstehe die Rechnung zu 1. nicht ganz. Mir ist mittlerweile klar, wieso die Fläche des Dreiecks die hälfte sein muss und nicht ein Drittel. Jedoch komme ich nach der Formel A = 1/2 g * h nicht weiter. Hier wird ja nun einfach eingesetzt, aber ich komme dann nicht auf die beiden Zahlen. Wo ist der Fehler ?

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Die Grundseite g verläuft von A nach B. Wie lang ist diese Strecke?

Die Höhe h ist der Abstand von C von der Grundseite g. Dieser ist mit der y-Koordinate von C gegeben.

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Tut mir leid für die verspätete Antwort. Die Grundseite verläuft von -1 bis 1 und hat somit die Länge 2. Die 2,182 sind dann ja h(t) und die gesamte Fläche der Funktion. Wie genau sieht die Funktionsgleichung aus damit ich auf x= 0.5949 und 0.1869 komme ?

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1/2·2·EXP(- x^3 + 0.5·x) = 1/2·2.182

EXP(- x^3 + 0.5·x) = 1.091

- x^3 + 0.5·x = LN(1.091)

- x^3 + 0.5·x = 0.08709

Das kann man jetzt numerisch lösen.

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Vielen Dank!

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-x^3+0.5x=0.08709     |·(-1)

x^3-0.5x=-0.08709     , x:=w-p/3w

w^3+0.5^3/(27w^3)=-0.08709  | ·w^3

w^6+0.5^3/27=-0.08709·w^3    | w^3:=u

u^2+0.5^3/27=-0.08709u

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u^2 + 0.5^3/27 = - 0.08709·u

gibt keine reelle Lösung.

Weiterhin kann inzwischen jeder etwas bessere Taschenrechner eine kubische Gleichung lösen. Wozu dann also so ein Aufwand?

Und wenn man sich den Aufwand macht, sollte wenigstens damit die Lösung herauskommen. Ansonsten kann man es sich ohnehin schenken oder?