Riemannintegrierbare Funktionen. Gerade und ungerade Funktionen und Symmetrie

Question

Sei f:[-a,a]-> ℝ eine Riemann-integrierbare Funktion. Zeigen Sie:
a) Ist f gerade, so gilt \( \int\limits_{-a}^{a} \) f(x)dx=2 \( \int\limits_{0}^{a} \)f(x)dx 
b) Ist f ungerade, so gilt \( \int\limits_{-a}^{a} \)f(x)dx =0

Meine Ideen:
meine Vermutung ist, dass a falsch und b wahr ist. allerdings fällt mir zu a kein Gegenbeispiel ein und bei b weiß ich leider nicht wie ich das beweisen soll. Ich weiß wohl das eine gerade Funktion ist wenn gilt das f(-x)=f(x) und für eine ungerade Funktion gilt -f(x)=f(-x) gilt
aber leider weiß ich nicht weiter, vielleicht könnt ihr mir ja helfen

Comments

meine Vermutung ist, dass a falsch und b wahr ist.

Die Aufgabenstellung lautet "Zeigen Sie". Bei solchen Aufgabenstellung kann man sich sicher sein, dass die Behauptung zutrifft.

Würde die Behauptung nicht zutreffen, dann wäre die Aufgabe nicht lösbar.

Wenn du den Wahrheitsgehalt einer Aussage beurteilen sollst, dann wird das in der Aufgabenstellung explizit erwähnt.

---

Beide Aussagen sind richtig.

Entweder betrachtet du Riemann-Summen oder du zerlegst die Integrale in zwei Teile und substituierst  in einem Teil x=-z .

z.B

a) Integral (-a bis a) f(x)dx

=Integral (0 bis a) f(x)dx + Integral (-a bis 0) f(x)dx

=Integral (0 bis a) f(x)dx -Integral (a bis 0) f(-z)dz

=Integral (0 bis a) f(x)dx +Integral (0 bis a) f(-z)dz

= Integral (0 bis a) f(x)dx +Integral (0 bis a) f(z)dz

=2 Integral (0 bis a) f(x)dx