Riemannsche Zeta-Funktion ζ(n)<2 beweisen

Question

Aufgabe:

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist definiert durch die Reihe \(ζ(q)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^q}\) für \(q\in\mathbb{Q}\) mit \(q>1\). Beweisen Sie, dass für \(n\in\mathbb{N}\) mit \(n\geq2\) gilt \(ζ(n)<2\).
Hinweis: Verwenden Sie \(\sum \limits_{n=2}^{\infty}\sum \limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^n}=1\).

Problem/Ansatz:

Wie fange ich hier am besten an?

Answer 1

$$\begin{aligned}1&= \sum \limits_{n=2}^{\infty}\sum \limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^n}= \sum\limits_{n=2}^\infty \underbrace{\zeta(n)-1}_{> 0} \\&>\zeta(m) - 1~~ \forall m\ge 2\end{aligned}$$

Wenn du den Hinweis nicht zeigen musst, wärst du jetzt fertig.