Wie groß die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Socke schwarz ist, falls die erste Socke schwarz ist?

Question

Aufgabe:

Eine Kiste enthält 3 schwarze  und 2 weiße Socken, eine zweite Kiste enthält 2 schwarze
und 4 weiße Socken. Eine Münze wird geworfen um zu entscheiden, aus welcher Kiste  
gezogen wird. Man zieht dann nacheinander mit Zurücklegen zwei Socken aus der gewählten
Kiste.

Wie groß die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Socke schwarz ist, falls die erste Socke schwarz ist?

Problem/Ansatz:

Guten morgen ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe

$$ P(S_2|S_1) = \frac{P(S_2\cap S_1)}{P(S_1)} = \frac{1}{P(S_1)}\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{P(S_1)}\cdot \frac{13}{50} = \frac{26}{50} $$

Wobei S1 die erste und S2 die zweite schwarze Socke ist.

Das Problem ist, dass ich mit $$P(S_2|S_1)$$ falsch liege, denn zeichnet man einen Baum, gibt es diese Wahrscheinlichkeit nicht, könnt ihr mir zeigen wie es richtig geht?

Answer 1

Hallo Anja,

denn zeichnet man einen Baum, gibt es diese Wahrscheinlichkeit nicht

Für  P(S₁) spielt die dritte Stufe des Baumdiagramms keine Rolle:$$P(S_2|S_1) = \frac{P(S_2\cap S_1)}{P(S_1)} =\frac{\frac{1}{2}·\frac{3}{5}·\frac{3}{5}+ \frac{1}{2}·\frac{2}{6}·\frac{2}{6}} {\frac{1}{2}·\frac{3}{5}+\frac{1}{2}·\frac{2}{6}}≈0,5048$$Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang.

Ich habe da zwei Fragen.

1)  Die erste Frage war die Frage, warum ich eigentlich die Hilfe Suche und zwar existiert doch die Bedingung     $$P(S_2|S_1)$$ gar nicht, oder?

Also wo findet man dies an dem Baum? Es müsste ja eigentlich $$P(S_2| U1 \cap S_1)$$ lauten oder?

2) Warum darf man bei P(S_1) einfach den zweiten Zug weglassen? Das Problem ist, in der einen Aufgabe muss ich die Gesamtwahrscheinlichkeit von S1 also P(S_1) bestimmen und hier sollt P(S_1) nun eine andere Wahrscheinlichkeit sein?

Es tut mir leid für diese vielleicht unklugen Fragen, nur versuche ich, als mathematisch eher unbegabter Mensch, den Zusammenhang so zu verstehen, dass ich es auch auf andere Aufgaben anwenden kann und hoffe deshalb die Nachfrage ist nicht allzu nervig.

Liebe Grüße

Anja

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Hallo Anja,

Also wo findet man dies an dem Baum?

Das Baumdiagramm stellt lediglich den Verlauf eines mehrstufigen Zufallsexperiments übersichtlich dar und ist eine Überlegungshilfe für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten beliebiger Ereignisse sowie bedingter Wahrscheinlichkeiten dieses ZE, auch wenn diese sich im Baumdiagramm nicht "lokalsieren" lassen.

1)

und zwar existiert doch die Bedingung   P(S₂ | S₁) gar nicht, oder?

P(S₂ | S₁) = P(S₁ ∩ S₂) / P(S₁)

 "existiert" nach Definition, weil P(S₁) ≠ 0 ist.

[ Eine Bedingung, die gar nicht eintreten kann, wäre ziemlich sinnlos ]

  https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit

 Es müsste ja eigentlich  P(S₂ | U₁ ∩ S₁)  lauten oder?

nein, denn dann müsste die Bedingung  "falls die erste Socke aus Urne 1 ist und schwarz ist" lauten. Sie lautet aber nur "falls die erste Socke schwarz ist".

Hier könnte man überflüssigerweise hinzufügen: "falls die erste Socke schwarz ist und aus Urne 1 oder aus Urne 2 stammt"

P( S₂ | S₁ ∩ (U₁ ∪ U₂) ) = P( S₂ | S₁ ∩ Ω ) =  P( S₂ | S₁ )

2)

Warum darf man bei P(S_1) einfach den zweiten Zug weglassen?

Weil es für die W. von "1. Socke schwarz" völlig unerheblich ist, was im 2. Zug passiert (vgl. unten)

Das Problem ist, in der einen Aufgabe muss ich die Gesamtwahrscheinlichkeit von S1 also P(S_1) bestimmen und hier sollt P(S_1) nun eine andere Wahrscheinlichkeit sein?

Ich weiß nicht, was in der "einen Aufgabe" steht, aber mit Sicherheit kann dort für P(S₁) nichts Anderes herauskommen als der Nenner des Bruchs in meiner Antwort, wenn es sich um das gleiche ZE handelt.

Vielleicht hilft es dir, wenn du dir die Ergebnismenge des ZE vor Augen hältst:

Ω = { (U₁ , s , s) , (U₁ , s , w) , (U₁ , w , s) , (U₁ , w , w) ,

                   (U₂ , s , s) , (U₂ , s , w) , (U₂ , w , s) , (U₂ , w , w) }

Jedes Ergebnis entspricht einem Pfad im Baumdiagramm.

S₁ = {  (U₁ , s , s) , (U₁ , s , w) , (U₂ , s , s) , (U₂ , s , w) }

Wenn du die vier Wahrscheinlichkeiten addierst, siehst du ein, dass das Ergebnis das gleiche ist, wie wenn du die dritte Stufe des Baumdiagramms einfach weglässt.

S₂ = { (U₁ , s , s) , (U₁ , w , s) , (U₂ , s , s) , (U₂ , w , s) }

S₁ ∩ S₂ = { (U1 , s , s) , (U₂ , s , s) }

   Viele liebe Grüße  Wolfgang

Answer 2

Du gehst davon aus, dass P(S1)=0,5 ist.

Das stimmt nicht, denn 0,5*(3/5)+0,5*(2/6)  ist 14/30.

Comments

Aber fehlt da nicht noch der zweite Zug bei dir? Also 0,5*(3/5)*(3/5)+0,5*(3/5)*(2/5)+0,5*(2/6) *(2/6) + 0,5*(2/6)*(4/6)

Eine Weiter Frage ist, existiert $$P(S_2|S_1)$$ überhaupt? Denn dies findet man nicht, wenn man den Baum zeichnen würde? Müsste es nicht eher $$P(S_2|S_1 \cap K1)+ P(S_2|S_1 \cap K2)$$ lauten?

Liebe Grüße

Anja

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Aber fehlt da nicht noch der zweite Zug bei dir? Also 0,5*(3/5)*(3/5)+0,5*(3/5)*(2/5)+0,5*(2/6) *(2/6) + 0,5*(2/6)*(4/6)

Ich habe doch nicht deine komplette Aufgabe gerechnet. Ich habe dich nur daraus hingewiesen, dass in deiner (ansonsten richtig durchgeführten) Rechnung der von dir verwendete Wert P(S1) = 0,5 falsch ist.
(Du hast diesen Wert zwar nicht hingeschrieben, aber dein Ergebnis 26/50 zeigt mir, dass du mit diesem Wert gerechnet haben musst).

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Achso:)

Eine Frage habe ich da aber wirklich nochh und zwar geht es um die Form

Denn s1une s2 scheint mir falsch zu sein,

Ich muss es halt alles in korrekten Formeln angeben und deshalb frage ich auch hier, denn irgendwie habe ich die rictige Intention, aber es mangelt an der Form

Answer 3

Der Münzwurf für die 1.Kiste = 0.5
1.Socke schwarz : 3/5
2.Socke schwarz : 2/4

0.5 * 3/5 * 2/4 = 6/40

Der Münzwurf für die 2.Kiste = 0.5
1.Socke schwarz : 2/6
2.Socke schwarz : 1/5

0.5 * 2/6 * 1/5 = 2/60

Zusammen
18/120 + 4 / 120 = 22/120 = 0.18333

Wenn ich mich nicht irre ( Sam Hawkins )

Comments

Guten Morgen georgborn.

Du hast dich leider etwas vermacht, denn es wird zurückgelegt.

Die Hauptfrage meinerseits war, wie man das formal richtig aufschreibt, es geht ja hier um bedingte Wahrscheinlichkeiten, deshalb muss man auch die Formel nutzen, nur bin ich leider zu doof dies richtig zu tun, wie man oben sieht P(S2 und S1) existiert ja nicht.

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Wenn ich mich nicht irre

Leider irrst du dich in zweierlei Hinsicht:
Du berechnest weder das was gesucht ist noch berücksichtigst du die Voraussetzungen.

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@ hj2166

Könntest du hier vlt weiterhelfen:)?

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P(S2 und S1) existiert ja nicht

Aber genau das hat g. doch (allerdings unter falscher Voraussetzung) berechnet.

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Kommentar → Antwort

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Die Hauptfrage meinerseits war, wie man das formal richtig aufschreibt,...
Hierbei kann ich dir leider nicht helfen.

Du hast dich leider etwas vermacht, denn es wird zurückgelegt.

Korrektur mit Zurücklegen
Der Münzwurf für die 1.Kiste = 0.5
1.Socke schwarz : 3/5
2.Socke schwarz : 3/5

0.5 * 3/5 * 3/5 = 9 / 50

Der Münzwurf für die 2.Kiste = 0.5
1.Socke schwarz : 2/6
2.Socke schwarz : 2/6

0.5 * 2/6 * 2/6 =  4 / 72

Zusammen
9/50 + 4/72 = 0.18 + 0.2333 = 0.4133