Zeigen Sie für jedes i ∈ {1,...k}, dass Bild(πi) = Ui ist, und bestimmen Sie den Kern von πi

Question

Seien K ein Körper, V ein endlicher erzeugter K-Vektroraum, k ∈ ℕ und U₁,...,U_k ≤_K V so, dass V die direkte Summe von U₁,...,U_k ist.

Für jedes i ∈ {1,...,k} sei B_i eine K-Basis von U_i und die Projektion π_i sei definiert wir folgt:

Für jedes v ∈ V seien u₁ ∈ U₁,...,u_k die eindeutig bestimmten Vektoren für die Darstellung v = u₁ + ... + u_k.

Dann ist v^πi := ui

a) Zeigen Sie für jedes i ∈ {1,...k}, dass π_i ∈ End_K(V) ist

b) Zeigen Sie für jedes i ∈ {1,...k}, dass Bild(π_i) = U_i ist, und bestimmen Sie den Kern von π_i

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen das jedes i ∈ {1,...k}, dass Bild(πi) = Ui ist, und bestimmen Sie den Kern von πi

Stichworte: projektion,kern,bild

Seien K ein Körper, V ein endlicher erzeugter K-Vektroraum, k ∈ ℕ und U₁,...,U_k ≤_K V so, dass V die direkte Summe von U₁,...,U_k ist.

Für jedes i ∈ {1,...,k} sei B_i eine K-Basis von U_i und die Projektion π_i sei definiert wir folgt:

Für jedes v ∈ V seien u₁ ∈ U₁,...,U_k die eindeutig bestimmten Vektoren für die Darstellung v = u₁ + ... + u_k.

Dann ist v^πi := u_i

a) Zeigen Sie für jedes i ∈ {1,...k}, dass π_i ∈ End_K(V) ist

b) Zeigen Sie für jedes i ∈ {1,...k}, dass Bild(π_i) = U_i ist, und bestimmen Sie den Kern von π_i

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Das hier hast du schon gesehen? https://www.mathelounge.de/594956/zeigen-jedes-die-projektion-eine-lineare-abbildung-nach-kern D.h. du brauchst vielleicht nur nach a) (?)

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Schau mal in deinen eigenen Unterlagen. Sieht so aus als hättest eine ähliche Frage schon im letzten Dezember gestellt und beantwortet.