Zeigen Sie, für jedes i ∈ {1, ..., n} die Projektion πi eine K-lineare Abbildung von V nach K ist und Kern

Question

Seien K ein Körper, n ∈ ℕ und V := Kⁿ. Fur jedes i ∈ {1, ..., n} definieren wir die Projektion π_i auf die i-te Komponente wie folgt: Fur alle x = (x₁, ..., x_n) ∈ V sei x^π_i := x_i.

Zeigen Sie, dass fur jedes i ∈ {1, ..., n} die Projektion π_i eine K-lineare Abbildung von V nach K ist, und bestimmen Sie für jedes i ∈ {1, ..., n} den Kern von π_i

.

Answer 1

Fur alle x = (x1, ..., xn) ∈ V sei xπ_i := xi.

Sei  i ∈ {1, ..., n} und seien

x = (x1, ..., xn) ∈ V und y = (y1, ..., yn) ∈ V.

==>   (x+y)^π_i  = (x1+y1, . , xn+yn)^π_i   =  xi+yi = x^π_i + y^π_i

also ist die Projektion additiv.

Und wenn c ∈ K istz, dann gilt

(c*x)^π_i  = (c*x1, . , c*xn)^π_i   =  c*xi= *c(x^π_i )

Also ist die Projektion K-linear.

und geht von V nach K , da  die Komponenten eines

Vektors aus K^n eben aus K sind.

Der Kern ist die Menge aller Vektoren, deren Bild 0 ist,

also bei π_i  alle Vektoren, die in der i-ten Komponente

eine 0 haben:

Kern( π_i  ) = { x∈K^n | x_i = 0 }.