g: ℝ^2 -> ℝ (x,y) ↦ {exp(y^2/x) für x≠0, 1 für x=0}

Question

Aufgabe:

Es sei die Funktion:

g: ℝ^2 -> ℝ (x,y) ↦ {exp(y^2/x) für x≠0, 1 für x=0}

Überprüfen Sie, für welche m ∈ R der Grenzwert \( \lim\limits_{x\to0} \) g(x, mx) existiert und geben
Sie diesen gegebenenfalls an.

Problem/Ansatz:

Wann genau existiert ein Limes bei dieser Funktionen? Müssen der Grenzwert für die Exponentialfunktion 1 ergeben?

Answer 1

Hallo Andrew,

$$\lim\limits_{x\to0}g(x,mx)=\lim\limits_{x\to0}e^{(mx)^2/x}=\lim\limits_{x\to0}e^{m^2·x} = e^0=1$$  Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank

wäre bei diesem grenzwert nicht 1 als Ergebnis rausgekommen, gäbe es dann keinen Grenzwert?

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\(\lim\limits_{x\to0}g(x)\) wäre dann nicht 1.
Wenn sich eine andere Zahl ergäbe, könnte diese aber trotzdem der Grenzwert von g für (x,y) → (0,0) sein.
Dieser GW würde dann aber nicht mit f(0,0) = 1 übereinstimmen. Deshalb wäre die Funktion g in (0,0) nicht stetig.

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g: ℝ² -> ℝ , (x,y)  ↦ { exp(y²/x)  für x≠0, 1 für x=0}

Hier sollte wohl eher   für (x,y) ≠ (0,0),  1 für (x,y) = (0,0)  stehen (?)

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Nein, da steht wirklich

g: ℝ2 -> ℝ , (x,y)  ↦ { exp(y2/x)  für x≠0, 1 für x=0}

Hat mich auch etwas gewundert. Muss ich da jetzt anders vorgehen?

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Muss ich da jetzt anders vorgehen?

Nein, das ist nur die richtige Schreibweise.

Dem Zahlenpaar (x,y) ∈ ℝ²  wird {...} ∈ ℝ zugeordnet [ ↦ ]