Polynome bei Funktionen zeigen. f(x) = exp(-1/x2) für x≠0.

Question

Aufgabe:

Sei $$f: R \longmapsto R, x \longmapsto\left\{\begin{array}{ll} \exp \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) & \text { für } x \neq 0 \\ 0 & \text { für } x=0 \end{array}\right.$$

Zeige die folgenden Aussagen:

1) Für $x \neq 0$ und für alle $n \in \mathbb{N}_{\geq 1}$ gibt es Polynome $p_{n}(x)$ und $q_{n}(x)=x^{3.2^{n-1}},$ so $\operatorname{daß} \operatorname{gilt} f^{(n)}(x)=\frac{\operatorname{pn}(x)}{\operatorname{qn}(x)} \cdot \exp \left(-\frac{1}{x^{2}}\right)$

2) Für alle $k \in \mathbb{N}$ gilt $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\exp \left(-\frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{k}}=0$

3) Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $f^{(n)}(0)=0$

4) $f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ und $T_{f, O}=0$