Polynome Steckbriefaufgabe, wie würde man als nächstes vorgehen?

Question

Aufgabe:

g) Suche ein Polynom mit dem niedrigsten Grad sowie Nullstellen bei 3 und -6

h) Suche ein Polynom wie in Beispiel g), welches zusätzlich eine gerade Funktion ist

i) Suche ein Polynom mit dem niedrigsten Grad sowie Extrema bei 3 und -6

Problem/Ansatz:

Wie würde man jetzt am besten vorgehen?

Hatte überlegt die allgemeine Form des Polynoms aufzustellen und als nächsten Schritt Gleichungen für die gesuchten Kriterien aufzustellen.

Answer 1

Aloha )

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu g) Das gesuchte Polynom muss die Linearfaktoren \((x-3)\) und \((x+6)\) enthalten.$$p(x)=(x-3)(x+6)=x^2+3x-18$$

zu h) Wenn die Funktion nun gerade sein soll, müssen auch an den Stellen \(x=-3\) und \(x=6\) Nullstellen sein. Zu den beiden Linearfaktoren von Teil (g) kommen also noch \((x+3)\) und \((x-6)\) hinzu:$$p(x)=(x-3)(x+3)(x-6)(x+6)=(x^2-9)(x^2-36)=x^4-45x^2+324$$

zu i) Nun muss die Ableitung die Linearfaktorn \((x-3)\) und \((x+6)\) enthalten:$$p(x)=\int(x^2+3x-18)\,dx=\frac13x^3+\frac32x^2-18x+\text{const}$$

Answer 2

Hatte überlegt die allgemeine Form des Polynoms aufzustellen und als nächsten Schritt Gleichungen für die gesuchten Kriterien aufzustellen.

Dann mach das. Bei g) und h) für eine Parabel und bei i) für eine kubische Funktion.