Gegeben sei die Matrix \( A_{a}=\left(\begin{array}{llll}a & 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & 0 & a\end{array}\right) \) mit \( a \in \mathbb{R} \) und die Polynome
\( \begin{array}{l} p_{1}(X)=2 X^{2}+3 \\ p_{2}(X)=(X-a)^{2} \\ p_{3}(X)=p_{A_{a}}(X) \\ p_{4}(X)=p_{1}(X) \cdot(X-a)^{2018} \end{array} \)
wobei \( p_{A_{a}} \) das charakteristische Polynom von \( A_{a} \) bezeichnet.
a) Bestimmen Sie \( p_{1}\left(A_{a}\right), \ldots, p_{4}\left(A_{a}\right) \) und \( p_{3}\left(S A_{a} S^{-1}\right) \) für jede reguläre Matrix \( S \in \mathrm{GL}_{4}(\mathbb{R}) \).
b) Bestimmen Sie die Menge aller Polynome \( p \in \mathbb{R}[X] \) an, für die \( p\left(A_{0}\right)=0 \) gilt.
c) Bestimmen Sie die Menge aller Polynome \( p \in \mathbb{R}[X] \) an, für die \( p\left(A_{a}\right)=0 \) gilt. (Hinweis: benutzen Sie \( A_{a}=A_{0}+a \cdot I_{4} \) )
Begründen Sie Ihre Antworten jeweils.
Habe Probleme mit b) und c). Gibt es jemand der diese Teilaufgaben lösen kann? Vielen Dank im Voraus
