Da ℤ nullteilerfrei gilt für zwei Polynome f,g ∈ ℤ[x]: deg(f*g) = deg(f) + deg(g)
(Falls eines = 0 klar, sonst: Der Leitkoeffizient von f*g ist gerade das Produkt der Leitkoeffizienten von f und g, diese sind beide ungleich 0, wegen der Nullleiterfreiheit also auch ihr Produkt)
Seien jetzt f,g ∈ ℤ[x] mit f*g = 0, dann ist
$$ -\infty = \deg(0) = \deg(f\cdot g) = \deg(f) + \deg(g) $$
Die einzige Möglichkeit ist jetzt: \( \deg(f) = - \infty \) oder \( \deg(g) = -\infty \) also \( f = 0 \) oder \( g = 0\).
Edit: Alternative:
Seien f,g ∈ ℤ[x], f≠0 und g≠0, dann ist l(f)≠0 und l(g)≠0, also l(f*g)=l(f)l(g)≠0 da ℤ nullteilerfrei, das heißt aber dass f*g≠0.