Menge aller Polynome: Nullteilerfrei

Question

Wie kann ich zeigen, dass ℤ[x] nullteilerfrei ist?

Danke :)

Answer 1

Da ℤ nullteilerfrei gilt für zwei Polynome f,g ∈ ℤ[x]: deg(f*g) = deg(f) + deg(g)

(Falls eines = 0 klar, sonst: Der Leitkoeffizient von f*g ist gerade das Produkt der Leitkoeffizienten von f und g, diese sind beide ungleich 0, wegen der Nullleiterfreiheit also auch ihr Produkt)

Seien jetzt f,g ∈ ℤ[x] mit f*g = 0, dann ist

$$ -\infty = \deg(0) = \deg(f\cdot g) = \deg(f) + \deg(g) $$

Die einzige Möglichkeit ist jetzt: \( \deg(f) = - \infty \) oder \( \deg(g)  = -\infty \) also \( f = 0 \) oder \( g = 0\).

Edit: Alternative:

Seien f,g ∈ ℤ[x], f≠0 und g≠0, dann ist l(f)≠0 und l(g)≠0, also l(f*g)=l(f)l(g)≠0 da ℤ nullteilerfrei, das heißt aber dass f*g≠0.

Comments

Woher weiß man, dass deg(0) = -∞ ist?

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Das ist eine übliche Definition.

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Hm, das überzeugt mich nicht. Das heißt ja, dass du die Aussage mit einer Definition beweist. Außerdem: Wie zeigt man, dass deg(0) = -∞ wohldefiniert ist?

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Der Satz wird nicht durch diese Definition bewiesen. Aufgrund der Definition kann man die Aussage
$$ \forall f,g ∈ ℤ[x]: \deg(fg) = \deg(f) + \deg(g)$$ für Polynomringe über nullteilerfreien Ringen erst beweisen. Wenn man den Grad des Nullpolynoms anders wählt muss man es aus der Aussage ausschließen. Dabei ist die Konvention:
$$ (-\infty) + (-\infty) := -\infty\\ (-\infty) + n := -\infty =:  n + (-\infty)  $$

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Allerdings braucht man diese Aussage eigentlich nicht für die Nullteilerfreiheit von \( \mathbb{Z}[x] \).

Answer 2

Hallo,

wenn du voraussetzen kannst, dass \( \mathbb{Z} \) keine Nullteiler hat, nimmst du zwei von Null verschiedene allgemeine Elemente \( f, g \) aus \( \mathbb{Z}[x] \), multiplizierst sie und diskutierst, ob das Produkt \( h = fg \) Null ist.

Zum Beweis genügt die Diskussion des Termes von \( h \) mit dem höchsten Grad oder des Termes von \( h \) mit dem niedrigsten Grad.

Grüße

Mister

Comments

Danke sehr Mister