Menge aller Polynome vom Grad k =

Question

Aufgabe:

ℝ_k[x] die Menger aller Polynome vom Grad k. Diese Menge enthält genau alle algebraischen Ausdrücke, die auf die Form :

a₀x⁰+a₁x¹+...

gebracht werden können. Dabei sind a₀.. etc reelle Zahlen

Man addiert zwei Polynome, indem man die Koeffizienten zu jeweils gleichen Potenzen von
x addiert. Für
p = x³ +2x² +3 = 1x³ +2x² +0x¹ +3x⁰

q = 6x² −5x −2 = 0x³ +6x² −5x¹ −2x

p + q = (1+0)x³ +(2+6)x² +(0−5)x¹ +(3−2)x⁰= x³ +8x² −5x +1

Man multipliziert ein Polynom mit einer reellen Zahl, indem man alle seine Koeffizienten mit
dieser Zahl multipliziert.

b)

Die Menge N_k [x] bestehe aus allen Polynomen p = a₀x⁰ + a₁x¹ + a₂x² + .... + a_kx^k ∈ R_k [x]
derart, dass die Summe der Koeffizienten gleich Null ist, d.h. a₀ + a₁ + a₂ +...+ a_k = 0.

Weisen Sie nach dass N_k [x] ein Untervektorraum von R_k [x] ist.
Gegeben seien nun folgende vier Polynome:
n₁ = x⁵ + x⁴ − x² − x
n2 = −x⁷ − x⁶ + x² + x
n₃ = x⁴ − x³
n₄ = x⁶ + x −2

c) Weisen Sie nach, dass die Polynome n₁,n₂,n₃,n₄ linear unabhängig in jedem Vektorraum N_k [x] mit k > 6 sind. Mit ein wenig Übersicht schaffen Sie das, ohne rechnen zu müssen.
Des Weiteren seien die folgenden drei Polynome gegeben:
r₁ = −x⁷ − x⁶ + x⁵ + x⁴
r₂ = x³ + x² −1
r₃ = −2x⁷ + x⁵ + x³+ x² +2x −3

d) Wegen c) bilden die vier Polynome n₁,n₂,n₃,n₄ eine Basis ihres Spanns S. Prüfen Sie
nach, ob die Polynome r₁, r₂, r₃ ebenfalls in S liegen. Wann immer das für ein ri der Fall
ist, geben Sie bitte die passenden Koordinaten von r_i bezüglich n₁,n₂,n₃,n4 an. Wann
immer es nicht der Fall ist, geben Sie bitte eine aussagekräftige Begründung an

Problem/Ansatz:

Zu b)

Habe ich die 4 polynome mit der reellen Zahl 1 multipliziert und komme damit auf:

n1 = 1+1-1-1 = 0

n2= -1-1+1+1 = 0

n3 = 1-1 = 0

n4 = 1+1-2 = 0

Somit ist bewiesen das Nk[x] ein untervektorraum von ℝk[x] ist , da nach der Multiplikation die Koeffizienten summe = 0 bleibt. Auch wenn man 2 Polynome mit der Summe 0 addiert so ist diese Summe ebenfalls 0. Das Unterraumkriterium wurde erfüllt. (Ich bin mir nicht sicher ob das so richtig ist ,das war viel zu einfach)

Zu c)

Dort erkennt man durch hinsehen das es alle 4 linear unabhängig sein müssen da sichtbar ist das keine ein vielfaches eines anderen sein kann. (Würde das als antwort reichen ??)

Zu d)

Da weiß ich nicht wie ich anfangen soll. Oder wie ich das überhaupt schirftlich aufschreibe.

Answer 1

Mir scheint, du müsstest deutlicher zwischen den Aufgabenteilen trennen. Dies ist die Teilaufgabe b):

b) Die Menge N_k [x] bestehe aus allen Polynomen p = a_{0}x^{0} + a_{1}x^{1} + a_{2}x^{2} + .... + a_{k}x^{k} ∈ R_{k} [x] derart, dass die Summe der Koeffizienten gleich Null ist, d.h. a_{0} + a_{1} + a_{2} +...+ a_{k} = 0.

Weisen Sie nach dass N_{k} [x] ein Untervektorraum von R_{k} [x] ist.

Deine Ausführungen zu b) gehen darauf überhaupt nicht ein.

Comments

Doch das tue ich. ich habe die 4 polynome mit einer reellen Zahl mal genommern, der 1. und da Rk[x] ein Vektorraum über R bildet und die bedinungen das alle koeffizienten gleich 0 sind immernoch besteht wenn ich diese mit einer reellen zal mal nehme ist Nk[x] ein Untervektorraum von Rk[x].

Es würde auch mehr helfen wenn du ein anderen lösungsweg hinschreibst anstatt nur zu sagen das meiner nicht richitg ist.

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Alles ab "Gegeben seien nun folgende vier Polynome: " gehört nicht zu Aufgabenteil b).

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Kann ich es nicht trotzdem damit begrünen?

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Nein, das kannst du damit nicht begründen, es soll ja allgemein gezeigt werden. Zeige dazu, dass \(\textrm{N}_k\left[x\right]\) nicht leer und abgeschlossen bezüglich Addition und Skalarmultiplikation ist.

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Es soll angenommen werden  das alle körperaxiome bereits bewiesen sind. Gehören diese 3 sachen nicht dazu?

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Ok wie genau ma he ich das?

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Also so in etwa wie :

N ≠ 0 , da a, 0 ∈ N

-> a+0 = 0+a = a

a+b ∈ N

-> Bsp: a= 1, b= 2

1+2 = 3 -> ist ℝ also 3 ∈ N

a*b ∈ N

-> Bsp: a=1, b= 2

1*2 = 2 -> ℝ also 2∈ N

oder müsste oichd das mit Polynomen machen ? Das ist mir nicht ganz klar

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Ja, du solltest das mit Polynomen machen, denn um diese geht es ja. Das dürfte auch nicht besonders schwierig sein.

Zunächst weißt du ja bereits, dass \(\textrm{R}_k\left[x\right]\) (habe ich das richtig geschrieben?) ein Vektorraum ist. Daher "erbt" seine Teilmenge \(\textrm{N}_k\left[x\right]\) die Vektorraumstruktur und wir müssen nur noch die Unterraumeigenschaft beweisen.

Hierzu genügt es gewöhnlich, zu zeigen, dass \(\textrm{N}_k\left[x\right]\) nicht leer, aber abgeschlossen im Hinblick auf die beiden Verknüpfungen Addition und Skalarmultiplikation ist.

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Ok also:

N≠0  x^2+x, 0 ∈ N

-> x^2+x+0 = 0+ x^2+x = x^2+x

 x^2+x + x^3+x ∈ N

-> x^3+x^2+2x -> ∈ N

x^2+x * x^3+x ∈ N

->x^7 ∈ N

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Beispiele genügen bei Teilaufgabe b) nicht. Vielleicht erklärst du noch, was du genau vor hattest.

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Die Vektorraum struktur wird geerbt

N≠0  es soll kontrolliert werden ob N nichtleer ist, dafür suche ich den Nullvektor.

x2+x, 0 ∈ N

-> x2+x+0 = 0+ x2+x = x2+x

x2+x + x3+x ∈ N prüfung auf abgeschlossenheit  hinsichtilich der addition mit 2 polynomen

-> x3+x2+2x -> ∈ N

x2+x * x3+x ∈ N prüfung auf abgeschlossenheit  hinsichtilich der multiplikationmit 2 polynomen

->x7 ∈ N

Answer 2

ℝ_k[x] die Menger aller Polynome vom Grad k. Diese Menge enthält genau alle algebraischen Ausdrücke, die auf die Form :

a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+...

gebracht werden können. Dabei sind a_{0}.. etc reelle Zahlen

Damit diese wirklich vom Grad k sind, musst du das genauer formulieren.

ℝ_k[x]  bezeichnet normalerweise eher nicht die "Polynome vom Grad k."

Kontrolliere bitte die Fragestellung.

Comments

Da \(a_k=0\) zulässig ist, ist die Definition ja nicht falsch. Schließlich soll das ja auch ein Vektorraum sein. Die Definition umfasst dabei auch den Begriff "Grad".

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Ich habe alles richtig  aufgeschrieben

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D.h. du liest das angegebene als Definition für "Polynome vom Grad k" ?

Gemäss dieser Definition ist dann y = x^2 ein Polynom vom Grad 10.

Üblich ist das nicht: https://de.wikipedia.org/wiki/Grad_(Polynom)#Definition

https://www.mathelounge.de/400972/wie-sieht-ein-vektor-vektorraum-aller-polynome-vom-grad-aus Hier wäre es nicht nötig "kleiner gleich 4" zu schreiben. 

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Lu, es ist doch völlig klar, was genau hier gemeint ist. Die ggf. andere Begriffsführung in anderen Zusammenhängen ist unerheblich. Du darfst aber gerne "Höchstgrad k" im Hinterkopf haben, zwingend notwendig ist das aber nicht.

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@az: Wenn das hier ein Wiki geben soll, verwirrt man künfitge Lesende mit solchen Fragestellungen, bei denen nur die Antwortenden die Frage verstehen.

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@Lu: Es mag sein, dass im Vortext der Aufgabe noch etwas fehlt, denn dort ist ja bislang nur die Rede von einer "Menge", nicht jedoch von einem "Vektorraum", dessen Existenz aber in der Teilaufgabe b) zwingend vorausgesetzt wird.

Außerdem fehlt noch Aufgabenteil a).

Vielleicht kann der Frager dies ja noch nachtragen.

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in aufgabe a stand das für jedes vorgegebene nichtnegarive k  Rk[x] einen reellen Vekorraum bildet. Dieses wurde vorausgesetzt als bewiesen. sonst nichts

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Mir geht es v.a. darum, ob das exakt Grad k ist oder ob da der maximale Grad k ist.

Da müsste die zitierte Fragestellung besser formuliert sein.

Mach mal einen Vorschlag als Kommentar, den ich dann oben in die Fragestellung kopieren kann.

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da steht nur " vom Grad k".

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ist das  denn wirklich so wichtig ? Ich brauche wirklich hilfe bei den aufgaben .