Polynome und komplexe Zahlen
Hey, bitte ich brauche Hilfe dabei: )
Zerlegen Sie das komplexe Polynom f(z) = 3z3 − 9z2 + 3z + 15 vollständig in seine (komplexen) Linearfaktoren. Gehen Sie dafür wie folgt vor:
(i) Die erste Nullstelle ist z1 = 2 + i. Spalten Sie diese mithilfe von Polynomdivision ab, um zu zeigen, dass gilt f(z) = 3z3 − 9z2 + 3z + 15 = 3(z3 − 3z2 + z + 5) = 3(z − (2 + i))(z2 − (1 − i)z − 2 + i).
(ii) Bestimmen Sie die zweite Nullstelle z2, indem Sie sich überlegen, dass mit z immer auch ˉz eine Nullstelle des Polynoms ist, da alle Koeffizienten reell sind.
(iii) Spalten Sie die zweite Nullstelle z2 (aus (ii)) mihilfe von Polynomdivision ab und bestimmen Sie die dritte Nullstelle z3.
(iv) Geben Sie die Linearfaktorzerlegung von f an, d.h. schreiben Sie die Funktion in der Form f(z) = c(z − z1)(z − z2)(z − z3) mit c ∈ ℂ.
(b)Bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen des Polynoms p(z) = z3 + (2 + 2i), d.h. alle komplexen Lösungen der Gleichung z3 = −(2 + 2i).
