Aufgabe:
Gegeben sei das Vektorfeld \(\vec{F}(x,y,z)=(x^2z,-2yz-\frac{z^2}{2},0)\).
Betrachte einen symmetrischen Kreiszylinder mit dem Radius R und der Höhe H, der mit seiner Grundfläche auf der (x,y)-Ebene steht, sodass die Symmetrieachse des Zylinders auf der positiven z-Achse verläuft.
Betrachten Sie nun denjenigen Teil der Mantelfläche des Zylinders, der nichtnegativen y-Koordinaten besitzt. Die beschriebene Fläche A ist also gegeben durch \(S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2=R^2, 0\leq z\leq H, y\geq0\}\).
Eine mögliche Parametrisierung von S ist hier \(S=\{Ψ(t,z)=(Rcost, Rsint, z) | 0\leq t\leq π, 0\leq z\leq H\}\).
Das Parametergebiet G ist hier also gegeben durch \(G=\{(t,z)|t\in [0,π], z\in [0,H]\}=[0,π]×[0,H]\).
Der Stokes'sche Integralsatz lautet: \(\int_{}^{}\int_{S}^{}rot\vec{F}d\vec{f}=\int_{\partial S}^{}\vec{F}(\vec{r})d\vec{r}\).
1) Berechnen Sie nun die linke Seite.
2) Berechnen Sie die rechte Seite, indem Sie den Rand der gegebenen Fläche S in die vier Teilwege
\(W_1:\vec{γ}_1(t)=(-R,0,t), t\in [0,H], W_2:\vec{γ}_2(t)=(Rcost,Rsint,H), t\in [π,0]\)
\(W_3:\vec{γ}_3(t)=(R,0,t), t\in [H,0], W_4:\vec{γ}_4(t)=(Rcost,Rsint,0), t\in [0,π]\)
zerlegen und die jeweiligen Kurvenintegrale berechnen und summieren.
Problem/Ansatz:
1) Zuerst habe ich das vektorielle Flächenelement berechnet: \(d\vec{f}=\vec{Ψ}_t×\vec{Ψ}_zdzdt=(Rcost, Rsint, 0)dzdt\).
Für die Rotation habe ich: \(rot\vec{F}=\begin{pmatrix} \partial_x\\\partial_y\\\partial_z \end{pmatrix}×\begin{pmatrix} x^2z\\-2yz-\frac{z^2}{2}\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2y+z\\x^2\\0 \end{pmatrix}\).
Eingesetzt: \(\int_{0}^{π}\int_{0}^{H}\begin{pmatrix} 2y+z\\x^2\\0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} Rcost\\Rsint\\0 \end{pmatrix}dzdt=\int_{0}^{π}\begin{pmatrix} 2Hy+\frac{H^2}{2}\\Hx^2\\0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} HRcost\\HRsint\\0 \end{pmatrix}dt=\begin{pmatrix} 2πHy+\frac{πH^2}{2}\\πHx^2\\0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\-2HR\\0 \end{pmatrix}=-2πH^2Rx^2\)
was mir falsch erscheint. Wo liegt mein Fehler?
2) \(\int_{0}^{H}(-R,0,t)dt+\int_{π}^{0}(Rcost,Rsint,H)dt+\int_{H}^{0}(R,0,t)dt+\int_{0}^{π}(Rcost,Rsint,0)dt\)
\(=(-RH,0,\frac{H^2}{2})+(0,-2R,-Hπ)+(-HR,0,-\frac{H^2}{2})+(0,-2R,0)=(-2RH,-4R,-Hπ)\)
Wo liegt hier mein Fehler?
