Vektorrechnung - Lineare Abhängigkeit überprüfen

Question

Aufgabe:

    v→ = (-3 | 2) 

    u→ = (4.5 | -3)

Problem/Ansatz:

Nun soll die Lineare Abhängigkeit überprüft werden. Mir ist jedoch nicht bewusst wie dies Richtigerweise zu tun ist.

Ich habe folgenden Weg gefunden, welcher auch meistens funktioniert hat: u→ = r * v→

Jedoch wird öfters auch alles in ein Gleichungssystem geschrieben (laut serlo):

    Ι   (-3) * a  + 4.5 * b    = 0

    ΙΙ  2 * a + (-3) * b        = 0

Kann ich mit der oben genannten Alternative (u→...) auch auf das selbe Ergebnis kommen oder sind die beiden Methoden zu verschieden. Wie gesagt der r*v→ Weg funktionierte bereits zuvor bei anderen Aufgaben jedoch hier nicht mehr.

— r * v→ Weg:

     - 3 = r * 4.5 | : 4.5

     r = 0.666667 (definitiv falsch)

— Gleichungssystem auflösen (meine Rechn.):

    0 = -3a + 4.5b | +3a

    3a = 4.5b         | : 3

    a = 1.5b

Nun komme ich nicht mehr weiter. Vermute, dass man nun für die a's in II 1.5b einsetzt aber das ist nur eine Vermutung und dennoch müsste man danach weiter rechnen.

Answer 1

damit zwei Vektoren linear abghängig sind, muss ein skalares Vielfaches vorliegen.

\( \begin{pmatrix} -3\\2\\ \end{pmatrix} \) = k * \( \begin{pmatrix} 4.5\\-3\\ \end{pmatrix} \)

I. -3 = 4.5k

k = -2/3

II.  2 = -3k

k = -2/3

Die Vektoren sind linear abhängig. (Wenn bei beiden Gleichungen nicht dasselbe k rausgekommen wäre, wären sie linear unabhängig)

Comments

Super danke!

Jedoch ist die Schreibweise mir immernoch nicht ganz klar.

https://de.serlo.org/30243/aufgaben-linearen-abhaengigkeit

Quelle: serlo.org, Lizenz: cc-by-sa-4.0"

Die zweite Aufgabe ist welche wir hier bearbeiten und in der Lösung wird aus dem Nichts einfach a und b hinzugefügt.

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Das sind zwei verschiedene Herangehensweisen. Ich persönlich finde die von mir aufgeführte simpler. Aber beide sind möglich.

Answer 2

v→ = (-3 | 2)

    u→ = (4.5 | -3)

offensichtlich ist 1*u = -1.5 * v

D.h. 1 u + 1.5 v = Nullvektor.

qed gemäss Definition von lin. Abhängigkeit. https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Unabhängigkeit#Definition