unterräumevektor beweisen

Question

V := R[X] und U := { f(X) ∈ V | f(X) hat bei Division mit X² + 1 den Rest 0 } seien.

Answer 1

f(X) hat bei Division mit X² + 1 den Rest 0

bedeutet doch:  Es gibt ein h(x) ∈ V mit  f(x) = h(x) * (X² + 1 ).

sind also f und g aus U dann gibt es h(x) und i(x) mit

  f(x) = h(x) * (X² + 1 ) und    g(x) = i(x) * (X² + 1 ).

dann gilt aber f(x) + g(x) = (h(x)+ i(x)) * (X² + 1 )

also ist die Summe auch in U.

Entsprechend ist auch für jedes a∈ℝ  dann a*f(x) aus U

und das 0-Polynom auch.

Also ist es ein Unterraum.