Untervektorraum beweisen mit Axiomen

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und U, W ⊂ V seien Untervektorräume. Dann zeige man
a) U ∩ W ist Untervektorraum von V .
b) U + W := {v ∈ V : ∃u ∈ U, ∃w ∈ W mit v = u + w} ist Untervektorraum von V

Problem/Ansatz:

Man muss zeigen dass

\((UV1): U \neq \varnothing \)

\( (UV2): \forall u, v_{\varepsilon} U\) und \( \forall \alpha, \beta \in K \)
ist das \( \alpha \cdot u+\beta \cdot v \in U \)

UV1 ist klar bei beiden Aufgaben, UV2 bin ich mir unsicher:

a)

(Leider kann ich es nicht hier so schön eintippen wie bei den Bedingungen, da meine Schrift nicht erkannt wird^^, deshalb erkläre ich es in Worten)

Alpha und Beta sind aus K, v1 und v2 aus U ∩ W

=> \( \alpha \cdot v1+\beta \cdot v2 \in U,W \), da

beide Terme jeweils in U,W liegen.

b)

UV2

v1=u1+w1, v2=u2+w2

=>\( \alpha \cdot v1+\beta \cdot v2 \)=

= u1*alpha+u2*beta+w1*alpha+w2*beta, beide terme sind jeweils aus U,W also liegen die auch in U+W

Ist das richtig soweit? Hoffe man kann das mir verzeihen, dass das nicht sehr schön aussieht...

Answer 1

zu a)

Bei UV2 würde ich das genauer machen

Alpha und Beta sind aus K, v1 und v2 aus U ∩ W

also sowohl in U als auch in W

==>  α*v1  ∈ U weil v1 ∈ U und U ein Unterraum ist und
       α*v1  ∈ W weil v1 ∈ W und W ein Unterraum.

Entsprechend  liegt ßv2 sowohl in U als auch in.

Also auch deren Summe in U und in W.

und bei b) auch :

v1=u1+w1, v2=u2+w2
          ....
=>  (u1*alpha+u2*beta)+(w1*alpha+w2*beta)

Die erste Klammer liegt in U und die zweite in W
also liegt die Summe in U+W