Wie Untervektorraum beweisen?

Question

\( V:=\mathbb{R}^{\mathbb{R}} \) und \( U:=\left\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid \exists a, b \in \mathbb{R}: \forall x \in \mathbb{R}: f(x)=a x+b x^{2}\right\} \)

Aufgabe:

Beweise ob U ein Untervektorraum von V ist.

Leider weiß ich nicht, wie genau ich a,b wählen muss und dann das Untergruppenkriterium auf f(x) anwenden soll.

Es wäre freundlich wenn jemand helfen könnte.

Danke!

Comments

Sieht aus wie Mathe B Hausaufgabe 3?

Answer 1

Aloha :)

Du musst zeigen, dass der \(U\) nicht leer ist und dass \(U\) abgeschlossen bezüglich der Addition und Skalarmultiplikation von \(V\) ist.

1) Die Null ist in \(U\) enthalten, \(U\) ist also nicht leer, denn:$$a=0\;\land\;b=0\implies f(x)=0\in U$$

2) Abgeschlossenheit bzgl. Addition

Seien \(f\) und \(g\) in \(U\), dann gilt:$$f(x)+h(x)=(a_fx+b_fx^2)+(a_gx+b_gx^2)=\underbrace{(a_f+a_g)}_{\in\mathbb R}x+\underbrace{(b_f+b_g)}_{\in\mathbb R}x^2\in U$$

3) Abeschlossenheit bzgl. der Skalar-Multiplikation$$\lambda\cdot f(x)=\lambda\cdot(ax+bx^2)=\underbrace{(\lambda\cdot a)}_{\in\mathbb R}x+\underbrace{(\lambda\cdot b)}_{\in\mathbb R}x^2\in U$$

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Danke für die Antwort schonmal!

Ich habe bisher genau das gleiche bei mir stehen wie du es mir gezeigt hast, aber meine Frage ist halt, woher weiß ich das lamda*a oder af+ag das passende a ist?

Denn da steht ja Es exestiert ein a,b element R.

Das lambda*a aus den Reellen Zahlen ist und af+ag auch ist mir klar.

Nur muss ich nicht noch irgendwie zeigen das, dass genau das richtige a oder b ist(Wegen dem Existenzquantor)?

Danke schonmal!