Untervektorraum matrix beweisen

Question

2.3
$$ \begin{array}{c} A=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \\ U=\left\{y=\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid(A \cdot y=2 \cdot y\}\right) \subseteq \mathbb{R}^{2} \end{array} $$
Wir betrachten die reellwertige Matrix A. Beweisen Sie durch geeignete algebraische Argumentation, dass die Teilmenge \( U \) ein Untervektorraum des reellen Vektorraums \( \mathbb{R}^{2} \) ist.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Es ist A·y = 2·y genau dann wenn (A-2E)·y = 0 ist (E: Einheitsmatrix).

Damit ist U der Kern einer linearen Abbildung.

Der Kern einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum.