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Aufgabe:

Folge gegeben:
\(  c_{n}=\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right) \)


Grenzertberechnung / Umformungen:

$$ \begin{aligned}   c_{n} &= \prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right) &  \text{Bruch erweitern}\\     &= \prod_{k=2}^{n}\left(\frac{k^{2}-1}{k^{2}}\right) & \text{3. Binomische Formel im Zähler} \\ &= \prod_{k=2}^{n}\left(\frac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}\right) & \text{Erste n Folgenglieder aufgeschrieben} \\ &= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \dots \frac{(n-1) \cdot(n+1)}{n \cdot n} & \text{Ab hier weiss ich nicht} \\ &= \frac{n+1}{2 n} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{2}& \text{Wie kommt er auf (n+1)/2n ?} \\ \end{aligned} $$



Fragen:

(1) Kann mir jemand die letzten zwei Schritte erklären und wie man Folgen dieser Art (Produkt) berechnet ?
(2) Wieso er die ersten n Folgenglieder aufschreibt und nicht ohne Folgenglieder aufzuschreiben den Limes berechnet? 
(3) Sagen, wie Folgen dieser Art heissen (Produktfolgen ?) damit ich mehr über  sie lernen kann? 

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1 Antwort

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Beste Antwort

Der schreibt die Folgengleider auf, damit man merken soll, dass sich

fast alles wegkürzt. Schreib die mal den

vorletzten noch hin, dann sieht man es besser.

Es bleibt tatsächlich nur

(n+1) / (2n)  übrig.

Avatar von 289 k 🚀

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