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Seien P := x2+ 1 ∈ ℝ[x] und J := {T ·P | T ∈ ℤ[x]}. Finden Sie einen surjektiven Ringhomomorphismus von ℝ[x] nach ℂ, dessen Kern genau J ist!

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Wie wäre es mit f: ℝ[x] --->  ℂ

                          f(q) =  q(i)  für alle q∈ℝ[x]    ?

Ist ein Ringhom. da

f( s+q) = (s+q)(i) = s(i) + q(i) = f(s) + f(q)

und für * entsprechend.

Ist surjektiv; denn sei a+bi ∈ℂ , dann sind a,b ∈ℝ

und wenn q das Polynom q = a + bx ist, dann ist

f(q) = a+bi .

Und  q ∈ Kern(f)

<=> q(i) = 0

<=> q enthält den Faktor ( x^2 +1)

<=  q ∈ J    PROBLEM: s. Kommentare

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q enthält den Faktor ( x^2 +1)

und wer garantiert, dass der Co-Faktor nur ganzzahlige Koeffizienten hat ?

Da ist was dran.

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