Stammfunktion bilden

Question

Hallo ihr Lieben!

leider stehe ich auf dem Schlauch und hoffe sehr, dass mir jemand helfen kann.

Die Funktion: f(x)=(x+1)*e^-0,5*x ist gegeben.
Man soll sagen, ob F(x)=(-2x-6)*^-0,5x eine Stammfunktion von f(x) ist.

Wie man prinzipiell aufleitet ist mir klar, jedoch komme ich nicht drauf, wie man aufleitet, wenn es zwei Produkte sind.
Leider habe ich auch keine Regel wie beiim ableiten gefunden.
Deshalb habe ich dann wie unten im Ansatz zu sehen ist f(x) zuerst ausmultipliziert und dann aufgeleitet.
Jedoch ist mein Ergebnis weit entfernt.

Ansatz:

f(x)=x*e^-0,5x+e^-0,5x
F(x)=-2x*e^-0,5x-2*e^-0,5x
F(x)=-2*(x*e^-0,5x+e^-0,5x)



Vielen Dank im Voraus!

Liebe Grüße!
Minka

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Könnten Sie die partielle Integration mal für mich durchführen?

Denn das habe ich probiert und dann aber wieder verworfen, da nichts sinnvolles heraus kam leider...

Mit freundlichen Grüßen

Minka

Answer 1

ob F(x)=(-2x-6)*^-0,5x eine Stammfunktion von f(x) ist.

Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:

1. f aufleiten und prüfen ob dadurch F entsteht
2. F ableiten und prüfen ob dadurch f entsteht.
   

wie man aufleitet, wenn es zwei Produkte sind.

Mit partieller Integration oder mit Substition. Falls du davon noch nichts gehört hast, dann ist das ein sicheres Indiz dafür, dass du den zweiten Weg gehen solltest.

Comments

 Mein Ansatz.. 

leider komme ich da auf etwas ganz anderes.

Wo liegt mein Fehler?

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Partielle Integration:

\(\int u(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x = u(x)\cdot v(x) - \int u'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x\)

\(u(x) = (x+1)\implies u'(x) = 1\)

\(v'(x) = e^{-\frac{x}{2}} \implies v(x) = -2e^{-\frac{x}{2}}\)

Einsetzen liefert

$$ \begin{aligned} \int xe^{-\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}\text{d}x & =\int\left(x+1\right)e^{-\frac{x}{2}}\text{d}x\\ & =\left(x+1\right)\cdot\left(-2e^{-\frac{x}{2}}\right)-\int\left(-2e^{-\frac{x}{2}}\right)\text{d}x\\& =\left(x+1\right)\cdot\left(-2e^{-\frac{x}{2}}\right)+2\int e^{-\frac{x}{2}}\text{d}x\\ & =\left(x+1\right)\cdot\left(-2e^{-\frac{x}{2}}\right)-4e^{-\frac{x}{2}}\\ & =\left(\left(x+1\right)\cdot\left(-2\right)-4\right)e^{-\frac{x}{2}}\\ & =\left(-2x-6\right)e^{-\frac{x}{2}} \\ \end{aligned} $$