Beweis, Polynomfunktion, Abbildung

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Zeigen Sie:

Die Abbildung  

~ : K[x] → Abb(K;K), f ↦ f tilde

die jedem Polynom seine Polynomfunktion zuordnet, ist injektiv, wenn K unendlich viele Elemente besitzt.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider nicht wie man hier ran gehen soll.

Wenn ich das richtig verstanden hab ist ja mit Abb(K,K), die Menge alle Abbildungen von K nach K gemeint.

Aber wäre das dann nicht eine Identitätsabbildung?

Also ich verstehe nicht wirklich warum da K[x] → Abb(K;K) steht und nicht einfach K[x] → K.

Hat generell jemand ne Idee bzw. einen Ansatz?

Answer 1

Also ich verstehe nicht wirklich warum da K[x] → Abb(K;K) steht und nicht einfach K[x] → K.

Zu jedem Polynom gibt es eine Abbildung von K nach K , die dadurch bestimmt

ist, dass man ein a∈K für das x im Polynom einsetzt und das Ergebnis (wieder in K)

bestimmt.

Wen du etwa in Z₂[x] die Polynome x^4 + x^3 + x^2 + x und  x^2 + x   betrachtest,

dann sind das zwar verschiedene Polynome, beide induzieren aber die gleiche

Abbildung von Z₂ nach Z₂, nämlich die , die   1 und 0 beide auf 0 abbildet.

Und es ist zu zeigen, dass das bei einem Körper mit unendlich vielen Elementen

nicht passieren kann.