Sekantensteigung, h-Methode

Question

Aufgabe: Wie groß ist die Tangente an den Graphen in dem Punkt A(1,5/2,25)?

Gegeben:

Funktion: f(x)=x²
A(1,5/2,25)
B(3,5/12,25)

Problem/Ansatz:

Ein neues Thema für mich. Man soll dies mit der h-Methode schaffen, allerdings habe ich das so ganz nicht verstanden.

Es sollen die beiden Punkte auf dem Punkt A überinander liegen sodass eine Tangente entsteht.

Punkt B (1,5+h/(1,5+h))² also B (1,5+h/1,5²+2*1,5h+h²)

Und nu? m_s= ???

Answer 1

Deine Frage ist etwas unklar formuliert

Funktion: f(x)=x²
A(1,5/2,25)
B(3,5/12,25)
Steigung der Sekante / Steigungsdreieck
m = Δ y / Δ x = ( yb - ya ) / ( xb - xa )
m = ( 12.25 - 2.25 ) / ( 3.5 - 1.5 ) = 10 / 2
m = 5

Tangentensteigung im Punkt A
A ( 1,5/2,25)
h ist die Differenz zu einem weiteren Punkt der Funktion
B ( 1.25 + h | ( 1.25 + h )^2 )
m = Δ y / Δ x = ( ( 1.25 + h)^2 )  - 2.25 / ( 1.25 + h - 1.25 )
m = ( 2.25 + 2.5*h + h^2 - 2.25 ) / ( h )
m = ( 2.5*h + h^2 ) / ( h )
m = 2.5 + h
lim h -> 0 [ 2.5 + h ]  = 2.5
m = 2.5

Ganz allgemein gilt für einen beliebigen Punkt
A ( x / x^2 )
h ist die Differenz zu einem weiteren Punkt der Funktion
B ( x + h | ( x + h )^2 )
m = Δ y / Δ x = ( ( x + h)^2 )  - x / ( x + h - x )
m = ( x^2 + 2*x*h + h^2 - x^2 ) / ( h )
m = ( 2*x*h + h^2 ) / ( h )
m = 2*x + h
lim h -> 0 [ 2*x + h ]  = 2 * x
m = 2*x

Allgemein'
m = ( f ( x + h ) - f (x) ) / ( x + h - x )

Bei Bedarf weiter fragen.

Comments

Wow Danke :)

Answer 2

Wie groß ist die Tangente an den Graphen

Das ist unschön formuliert. Gemeint ist die Steigung der Tangente (Gerade).

Für die Tangente im Punkt A musst du nur einsetzen:

$$ m=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$

Comments

Danke für die Antwort.

also für x den X-Wert aus dem Punkt A also 1,5 einsetzen?

also:
\(m = lim \frac{f(1,5+h)-f(1,5)}{h} \)  ?

Ist das richtig?

Und was setze ich für h ein?

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Sieht gut aus.

Und was setze ich für h ein?

Garnichts, also keinen konkreten Wert betrachten. h wird immer kleiner, bis h irgendwann 0 ist.

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Ok danke dir :)