Punktmenge bestimmen: Alle Punkte die von zwei parallelen Geraden den gleichen Abstand haben?

Question

Aufgabe: g1 wäre \( X= \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) + s* \( \begin{pmatrix} 3\\-1\\-2\end{pmatrix} \) und g2 wäre \(X= \begin{pmatrix} -3\\-4\\1 \end{pmatrix} \) + t* \( \begin{pmatrix} -4,5\\1,5\\3 \end{pmatrix} \)

Bestimmen Sie alle Punkte die jeweils den Gleichen Abstand zu den Parallelen g1 und g2 haben.
Alle diese Punkte beschreiben eine Ebene. Welche, stellen Sie diese in der Parameterform auf.

Comments

Wie man den Abstand berechnet weiß ich, aber wie man alle Punkte berechnet die den selben Abstand haben fehlt mir der Ansatz wäre dankbar für jede Hilfe

---

Betrachte nochmals deinen Türrahmen und überlege, wo die Punkte liegen, die von beiden Türpfosten den gleichen Abstand haben.

Die Mittelpunkte der Verbindungsstrecken zweier beliebiger Punkte auf den Türpfosten liegen z.B. alle in der fraglichen Ebene. Das gibt aber erst eine Mittelparallele Gerade. Die nun noch in den Raum ausdehnen.

---

Da es sich um 2 geraden handelt die parallel zueinander sind, müssen die ja an allen Punkten den gleichen Abstand haben.

Führt dies dann nicht zur Berechnung von Punkt-Ebene zurück

---

Meine abstand-punkt-gerade

Answer 1

Ein Punkt der Ebene
1/2·([1, 0, 0] + [-3, -4, 1]) = [-1, -2, 0.5]

Normalenvektor zur Ebene in der die Geraden liegen
[-3, -4, 1] - [1, 0, 0] = [-4, -4, 1]
[-4, -4, 1] ⨯ [3, -1, -2] = [9, -5, 16]

Parameterform der Ebene
E: [-1, -2, 0.5] + r·[3, -1, -2] + s·[9, -5, 16]

oder Koordinatenform der Ebene
[9, -5, 16] ⨯ [3, -1, -2] = [26, 66, 6] = 2·[13, 33, 3]
E: 13·x + 33·y + 3·z = [-1, -2, 0.5]·[13, 33, 3] = -77.5

Comments

Hi.

hätte als Parameterform bei s*

\( \begin{pmatrix} -9\\5\\-16 \end{pmatrix} \) ?

---

wenn \( \begin{pmatrix} -4\\-4\\1 \end{pmatrix} \) x \( \begin{pmatrix} 3\\-1\\-2 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 9\\-5\\16 \end{pmatrix} \)

---

(9,-5,16) = (-1)*(-9,5,-16)

D.h. du musst für s einfach die Gegenzahlen einsetzen, wenn du die gleichen Punkte der Ebene herausbekomen willst. Die Ebenen stimmen daher überein.

---

also ist es egal wie rum ich den Normalvektor konstruiere ?

---

Ja. Es ist die gleiche Ebene. s kann ja positiv und negativ sein.

Wichtig ist aber, dass du eine Geraden- und dann auch eine Ebenengleichung angibst. Daher habe ich mal in der Fragestellung Ortsvektor X= bei den Geradengleichungen ergänzt.

---

super danke!