Zeigen, dass die Formel zur Berechnung einer eingeschlossenen Fläche gilt

Question

Aufgabe:

Zeigen sie allgemein, dass die obige Formel ( A = 2/3 * s * h, s = Abstand der Schnittpunkte der Geraden g mit der Parabel, h = Abstand Scheitelpunkt zur Geraden) zur Berechnung der eingeschlossenen Fläche auch dann gilt, wenn die Parabel zu y = 4x^2/9 von einer beliebigen Parallelen zur x-Achse (y = c, c > 0) geschnitten wird.

Meine Herangehensweise war, erstmal die Schnittpunkte zu berechnen und dann die Werte für s und h bezüglich des Parameters c in die Formel einzusetzen.

Komme auf A = 2/3 * 3√c * c = 2c√c, das passt auch alles so.

Dann habe ich die Differenzfunktion (c - (4x^2/9)) über die Schnittpunkte integriert, um zu zeigen, dass beide Rechnungen, Formel und Integral, dasselbe Ergebnis aufweisen. Das hat auch geklappt und sollte so passen.

Meine eigentliche Frage ist jetzt, welche alternativen Herangehensweisen es gibt, die es eventuell, aber nicht zwangsläufig, erleichtern könnten.

. LG

Answer 1

Bilde gleich die Differenzfunktion

d(x) = c - 4/9·x^2 = 0 --> x = ± 3/2·√c

D(x) = c·x - 4/27·x^3

Nutze die Symmetrie bei der Flächenberechnung.

2 · ∫ (0 bis 1.5·√c) d(x) dx = 2·D(1.5·√c) = 2·(c·(3/2·√c) - 4/27·(3/2·√c)^3) = 2·c·√c

A = 2/3 * s * h = 2/3·(3·√c)·c = 2·c·√c

passt.