Berechne den Inhalt der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche f(x) = 2x^2 - 8, g(x) = x^2+4

Question

Aufgabe:

Berechne den Inhalt der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche f(x) = 2x^2 - 8, g(x) = x^2+4

Problem/Ansatz:

Es ist ein komplett neues Thema für uns und wir sind mit so gut wie keiner Erklärung uns selbst überlassen. Bitte daher um Hilfe, damit wir es verstehen!

Answer 1

Berechne den Inhalt der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche f(x) = 2x^2 - 8, g(x) = x^2 + 4

Differenzfunktion

d(x) = f(x) - g(x)

d(x) = x^2 - 12

Beachte die Achsensymmetrie der Funktion

Nullstellen der Differenzfunktion

d(x) = x^2 - 12 = 0 -->x = ± √12

Stammfunktion

D(x) = 1/3·x^3 - 12·x

Fläche mit dem Integral

A = 2·∫ (0 bis √12) d(x) dx = 2·(D(√12) - D(0)) = 2·(1/3·(√12)^3 - 12·(√12)) = - 32·√3

Die Fläche beträgt 32·√3 = 55.43 FE.

Answer 2

Finde die beiden Schnittpunkte f(x) = g(x).

Bilde die Differenzfunktion g(x) - f(x).

Integriere die Differenzfunktion vom unteren bis zum oberen Schnittpunkt.

Comments

\(\displaystyle \begin{aligned} A&=\int\limits_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}\Bigl( x^2+4-(2x^2-8)\Bigr)\,dx \\ \\ &=\int\limits_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}\Bigl(- x^2+12\Bigr)\,dx \\ \\ &= 32 \sqrt{3}\\ \\ &\approx 55,4 \end{aligned} \)