Ermittle a so, dass der Inhalt der vom Graphen und den Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche den Wert A hat

Question

Ermittle a ∈ ℝ+ so, dass der Inhalt der vom Graphen der Funktion f und den beiden Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche den Wert A hat!

f(x):= -a*x^2+3

A=9/4

Wie bekomme ich den Wert a raus? Muss ich verschiedenes einsetzten, bis ich auf die Antwort komme, oder gibt es auch einen rechnerischen Weg?

Answer 1

Nullstellen f(x) = 0
-a·x² + 3 = 0
x = ± √(3/a)

Stammfunktion
F(x) = -1/3·a·x^3 + 3·x

Fläche
A = ∫ (0 bis √(3/a)) f(x) dx = F(√(3/a)) - F(0) = -1/3·a·√(3/a)^3 + 3·√(3/a) = 2·√(3/a) = 9/4 --> a = 64/27

Comments

-1/3·a·√(3/a)3 + 3·√(3/a) = 2·√(3/a) = 9/4

Ich habe versucht das nachzurechnen, aber ich komme nicht auf die 2*√(3/a)

Wie sind Sie da vorgegangen?

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Merke: (√x)^3 = x·√x

-1/3·a·√(3/a)^3 + 3·√(3/a)

= -1/3·a·3/a·√(3/a) + 3·√(3/a)

= -√(3/a) + 3·√(3/a)

= 2·√(3/a)

Answer 2

Rechne allgemein mit a:

Nullstellen sind   x = ±√(3/a)

von beiden Achsen und dem Funktionsgraphen eingeschlossen

ist wohl das Stück im 1. Quadranten gemeint.

Dazu brauchst du das Integral von 0 bis √(3/a)  über f(x) dx

Stammfunktion habe ich (-a/3) * x^3 + 3x

 und damit für das Integral   2*√(3/a)  und das soll 9/4 sein, also

2*√(3/a)  = 9/4

    √(3/a)  = 9/8

        3/a = 81/64

        a/3 = 64/81

          a = 64/27

Answer 3

vom Graphen der Funktion f und den beiden Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche

Eine Integrationsgrenze ist 0. Die andere ist Nullstelle der Funktion.

f(x):= -a*x²+3

Symmetrisch zur y-Achse. Genau zwei Nullstellen. Also ist es egal welche Nullstelle man wählt.

        -a·x²+3 = 0

        ⇔ x² = 3/a

        ⇔ x = ±√(3/a)

Ich nehme √(3/a) als Nullstelle.

        9/4 = ∫_0..√(3/a) -a·x²+3 dx

        ⇔ 9/4 = [-a/3·x³ + 3x]_0..√(3/a)

        ⇔ 9/4 = (-a/3·(√(3/a))³ + 3·(3/a)) - (-a/3·0³ + 3·0)

        ⇔ 9/4 = -a/3·(√(3/a))³ + 3·(3/a)

Löse die Gleichung.

Answer 4

Hallo Luisa,

f(x):= -a·x² + 3  ist jeweils eine nach unten  geöffnete Parabel mit den Nullstellen

 x_1,2  =  ± √(3/a)

Die Maßzahl A des beschriebenen Flächeninhalts ist wegen der Symmetrie zur y-Achse

A  =  2· ₀∫^√(3/a) ( -a·x² + 3) dx  = 2 · [ - a/3 · x³ + 3x ]₀^√(3/a)  =  4·√3 / √a  = 9/4  

       daraus   →   a = 256 / 27

Gruß Wolfgang