Aloha :)
Du benötigst zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionen. Die bekommst du, indem du beide Funktionen gleich setzt:
$$\left.x^3=2kx^2-k^2x\quad\right|\;-2kx^2+k^2x$$$$\left.x^3-2kx^2+k^2x=0\quad\right|\;x\text{ ausklammern}$$$$\left.x(x^2-2kx+k^2)=0\quad\right|\;2\text{-te binomische Formel}$$$$\left.x(x-k)^2=0\quad\right|\;\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$x_1=0\quad;\quad x_2=k$$Die Fläche zwischen den beiden Funktionen bekommst du also, indem du die Differenz der Funktionen von \(0\) bis \(k\) integrierst. Die Betragstriche sorgen dafür, dass wir als Fläche immer eine positive Zahl erhalten, auch wenn die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegen sollte.
$$F=\left|\int\limits_0^k\left(\,f(x)-g(x)\,\right)dx\right|=\left|\int\limits_0^k\left(\,x^3-2kx^2+k^2x\,\right)dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[\frac{x^4}{4}-\frac{2k}{3}x^3+\frac{k^2}{2}x^2\right]_{x=0}^k\right|=\left|\frac{k^4}{4}-\frac{2k^4}{3}+\frac{k^4}{2}\right|$$$$\phantom{F}=k^4\left|\frac{1}{4}-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\right|=k^4\left|\frac{3}{12}-\frac{8}{12}+\frac{6}{12}\right|=\frac{k^4}{12}$$Du sollst \(k\) nun so bestimmen, dass die Fläche \(F=A=\frac{4}{3}\) ist:$$\frac{4}{3}=F=\frac{k^4}{12}\quad\Leftrightarrow\quad k^4=16\quad\Leftrightarrow\quad k=\pm2$$Es gibt also 2 Werte für \(k\), nämlich \(k=2\) und \(k=-2\), die die Fläche \(\frac{4}{3}\) ergeben.
~plot~ x^3 ; 2*2*x^2-2^2*x ; {0|0} ; {2|8} ; [[-2|3|-2|12]] ~plot~
