Teilbarkeit durch drei. Beweisen mit Induktion, dass für alle n ∈ ℕ0 : 3 | (n^3 - 4n)

Question

Aufgabe:

1)

Beweise mit Induktion das für alle n ∈ ℕ₀ : 3 | (n^3 - 4n)

I.B n = 0

3 | 0  ✓

I.S n → n+1

\( \frac{(n + 1)^3 - 4 (n+1)}{3} \) = \( \frac{n^3-4n}{3} \) + \( \frac{}{3} \)  

Problem/Ansatz:

Ich komme im Schritt nicht mehr weiter.

Answer 1

Multiplizier doch einfach mal alles aus und sortiere es!

(n+1)³=n³+3n²+3n+1

Comments

Das hab ich jetzt gemacht. Bei mir kommt dann \( \frac{n^3+3n^2-n+5}{3} \) raus. Was muss ich danach machen?

---

Damit kann ich ja noch nicht zeigen das der Ausdruck durch 3 teilbar ist.?

---

$$\frac{(n + 1)^3 - 4 (n+1)}{3}=\frac{(n^3+3n^2+3n + 1) - 4n-4}{3}=\frac{n^3 - 4n+3n^2+3n + 1-4}{3}=\frac{n^3 - 4n}{3}   + =\frac{3n^2+3n -3}{3}$$

Der erste Bruch ist ganzahlig nach Induktionsannahme, der zweite offensichtlich, da man mit 3 kürzen kann.

---

Sorry !!

$$\frac{(n + 1)^3 - 4 (n+1)}{3}=\frac{(n^3+3n^2+3n + 1) - 4n-4}{3}=\frac{n^3 - 4n+3n^2+3n + 1-4}{3}=\frac{n^3 - 4n}{3}   + \frac{3n^2+3n -3}{3}$$