Ist jede Quadratzahl die Summe zweier Quadratzahlen? Ja! 4ab+(a-b)²=(a+b)²

Question

Beweis:

a, b aus N

a*b sei irgendeine Quadratzahl Bsp: 4*9 = 36 =6² => 4*36 + 25 = 13² = 12²+5²=13²

4ab+(a-b)²=(a+b)²

q.e.d.

Stimmt das?

Comments

Vgl. auch Diskussion hier: https://www.mathelounge.de/62291/ist-jede-zahl-die-differenz-zweier-quadrate?show=62305

Answer 1

Nein, das stimmt nicht. Man findet doch sehr leicht ein Gegenbeispiel:

Es ist 9 eine Quadratzahl. Aber du findest keine Quadratzahlen, deren Summe 9 ist.


Edit: Es geht nur für Quadratzahlen, die sich als Summe zweier Zahlen schreiben lassen, deren Produkt eine Quadratzahl ist. Das sind aber nicht alle. Für diese jedoch stimmt es.

Comments

OK a=b =>


4*3*3+0²=6^2


4*a²+0²=(a+a)²  <=> Quadrat + Quadrat = Quadrat

a²=(a+a)²/4

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Ja gut, das geht natürlich. Aber die Darstellung einer Zahl x^2 als x^2+0^2 ist nun nicht besonders aufregend oder?

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Nein, aber eine wahre Aussage.

Also gilt die Behauptung.

Interessant hat eine Qadratzahl mehr als einen  Primfaktor p also es gibt noch ein q , dann ist sie als nichttriviale Summe zweier Quadratzahlen in N darstellbar.


Sonst gilt p²+0²

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Es muss genau heißen:


Ist a*b eine Qadratzahl genau dann ist (a+b)² als Summe von zwei Quadratzahlen darstellbar.


(a+b)²=(a-b)²+4ab

Answer 2

Nein. 9 ist eine Quadratzahl, aber nicht Summe zweier Quadratzahlen.