Beweis für L1= {u1 + sv1|s\in R} = L2 = {u2 + tv2|t\in R}, wenn u1\in L2 und ein q\in R\{0} existiert, sodass u1=qu2

Question

kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen:

Seien L₁, L₂ \subseteq R² zwei Geraden. Wir können annehmen, dass die Vektoren u₁, v₁, u₂, v₂ \in R² mit v₁, v₂ ungleich 0 existieren, sodass

L1= {u₁ + sv₁ | s\in R} und L2 = {u₂ + tv₂ | t\in R} .

Zeigen Sie, dass L₁=L₂ genau dann gilt, wenn die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind:

(i) u₁ \in L₂

(ii) es existiert ein q \in R\{0}, sodass v₁ = qv_2.

Comments

PS: wo kann man hier eigentlich Symbole einfügen?

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Möchtest du Latex, schreibe es entweder in doppelte Dollarzeichen oder zwischen Backslash Klammer-auf Backslash Klammer-zu

Allerdings, bist du sicher, dass u ungleich 0 ist und nicht v?

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Sorry, gemeint ist natürlich v1 und v2 ungleich 0.

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Symbole findest du auch unter Sym

Ausschnitt aus der Sym-Tabelle:

Klicke auf das gewünschte Symbol.

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Bei (ii) sollen das v sein?

Was am Ende der Überschrift?

Answer 1

Ich nehme mal an, dass \( v_1 \cdot v_2 \neq 0 \) gilt, sonst würdest du Punkte als Geraden aber keine Ursprungsgeraden zulassen.

Ein "genau dann" zeigt man in der Regel, indem man eine Aussage als gegeben annimmt und daraus die andere schließt. Fangen wir damit an, dass \(L_1 = L_2 \). Dann folgt:

(i) Trivial, da \(u_1 \in L_1 \Rightarrow u_1 \in L_2 \)

(ii) mit \(a \in L_1, a \in L_2, u_1 \neq a \neq u_2 \Rightarrow a = u_1 + sv_1 \overset{(i)}{=} u_2 + t'v_2 + sv_1 = u_2 + tv_2 \Rightarrow v_1 = \frac{t - t'}{s}v_2 \)

Gelten (i) (\(u_1 = u_2 + t'v_2\)) und (ii), so gilt für jeden Punkt \(a \in L_1: a = u_1 + sv_1 = u_2 + t'v_2 + sv_1 = u_2 + t'v_2 + sqv_2 = u_2 + (sq + t')v_2, sq+t' \in \mathbb{R} \Rightarrow a \in L_2\)

Comments

meines Erachtens nach wurde hier nur gezeigt, dass alle a∈L₁ in L₂ enthalten sind. Dies impliziert jedoch nicht L₁=L₂, sondern nur L₁⊆L₂. Müsste nicht noch gezeigt werden, dass auch jedes a∈L₂ auch in L₁ enthalten ist?

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Nimmst du es genau, dann ja. Geht aber analog

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Meines Erachtens nach eben nicht, denn für u₂ kann man im Gegensatz zu u₁ nicht implizieren, dass es (in diesem Fall) Element von L₁ ist und somit durch u₁+s'v₁ darstellen lässt.(zumindest kann ich das nicht implizieren)

Die Bedingung (i) gilt nämlich laut Aufgabenstellung nur für u₁ und nicht für u₂.

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$$ u_1 = u_2 + t'v_2 \Rightarrow u_2 = u_1 - t'v_2 = u_1 - \frac{t'}{q}v_1 $$