Geben Sie die Jordansche Normalform der Matrix an

Question

Aufgabe:

Geben Sie die Jordansche Normalform der Matrix

\( \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0& 0 & 2 \end{pmatrix} \)

an.

Problem/Ansatz:

Hallo ich hab das noch nicht ganz verstanden ich hab erstmal folgendes gemacht.

1. Charakteristisches Polynom bestimmt.

-(λ-2)*(λ-2)*(λ-2)=-(λ-2)³

somit hab ich die algebraische Vielfachheit 3

2.Kern und Span bestimmen.

Kern= (A-λE)

\( \begin{pmatrix} 2-2 & 3 & 4 \\ 0 & 2-2 & 5 \\ 0& 0 & 2-2 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0& 0 & 0 \end{pmatrix} \)

daraus folgt v₁=\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) und der Span =0.

Jetzt weiß ich nicht mehr weiter, da ich noch für weitere Matrizen genau das selbe machen muss, wäre es sehr hilfreich wenn man mir das an dieser Aufgabe nun einmal komplett zeigen könnte. Damit ich das bei den anderen Matrizen dann komplett alleine machen kann.

Mit einem Online Rechner hab ich noch das raus als Jordan Form \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0& 0 & 2 \end{pmatrix} \) das sieht von der Form her schon richtig aus. Allerdings ist da kein Rechenweg und daher Hilft mir das nicht wirklich.

freundliche Grüße

Comments

Weil es hätte ja auch sein können das die Form \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} \) ist je nach dem Wie man die Jordankästchen betrachtet

Answer 1

Da steht eine Hauptvektorsuche an, weil Dim Eigenraum=1.

Hast Du sowas schon mal gemacht?

Suche Hauptvektoren aus

(A-2E)^(3)=0

Comments

Das sagt mir jetzt leider gerade nichts

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(A-2E)^(3)=0 wegen meiner Vielfachheit von 3 meinst du bestimmt oder?

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Dann wirds schwierig....

Du musst die Theorie nachlesen!

(A-2E)^(3)x=0 weil wir Hauptvektoren für einen 3 Dim Eigenraum suchen

===>

\(\small HVs \, :=  \,  \left\{ \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}0&1&0\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}0&0&1\\\end{array}\right) \right\} \)

v₁=\(\small HV0 = \left(1, 0, 0 \right)\)

wir suchen einen, der nicht im Kern A-2E 

\(\small HV2 \, :=  \,  \left( 0, 0, 1 \right) \)

und dessen Abb.

\(\small HV1\):=(A-2E) HV2 \(\small =  \,  \left( 4, 5, 0 \right) \)

lin unabh. zu den gefunden HVs ist

T={HV0,HV1,HV2}={{1,0,0},{4,5,0},{0,0,1}}

T^-1 A T =D:={{2, 15, 0}, {0, 2, 1}, {0, 0, 2}}

Setzte HV2'=HV2/15 ===> HV1'=(4 / 15, 1 / 3, 0)

T=(HV0,HV1',HV2')*15

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}15&4&0\\0&5&0\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

T^-1 A T = \(\small D \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\\\end{array}\right)\)

EDit: Hab die Nummerierung geändert....

---

danke dir erstmal dafür