Ist es möglich einen der Vektoren, welche einen Raum aufspannen auszutauschen durch v?

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Gegeben seien die Vektoren } v_{1}=(1,3,-2,2)^{t}, v_{2}=(-3,2,-1,1)^{t}, v_{3}=(1,3,-2,3)^{t} . \text { Mit }} \\ {\text { diesen werde der Raum } V :=\left\langle v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\rangle \subset \mathbb{R}^{4} \text { aufgespannt. }} \\ {\text { Ist es möglich, einen der Vektoren } v_{1}, v_{2}, v_{3} \text { durch } v=(-5,-4,3,-5)^{t} \text { auszu- }} \\ {\quad \text { tauschen? Wenn ja, welchen? }}\end{array} $$

folgende Fragen/Probleme habe ich:

Also der Vektor muss ja schon mal linear unabhängig sein, um ausgetauscht werden zu können, richtig ?

Wie bekomme ich jetzt raus, welcher der Vektoren ersetze werden kann ?

Comments

Ist es möglich einen der Vektoren, welche einen Raum aufspannen auszutauschen durch v?

Meint vermutlich auch, dass immmer noch derselbe Untervektorraum V aufgepannt wird. (?)

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Korrekt, habe ich leider nicht gesehen, stand in einem anderen Teil der Aufgabe. Danke für den Hinweis.

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Deshalb musst du einen gegebenen Vektor durch einen ersetzen, der im gleichen Span ist, u.a. einen finden so, dass dann nicht alle 4 Vektoren linear unabhängig sind.

Answer 1

r·[1, 3, -2, 2] + s·[-3, 2, -1, 1] + t·[1, 3, -2, 3] = [-5, -4, 3, -5] --> r = 0 ∧ s = 1 ∧ t = -2

v ist eine Linearkombination von v2 und v3. Damit müssten v2 oder v3 durch v ersetzbar sein.

Comments

Wenn ich für t = -2 einsetze kommt doch aber am Ende \( \begin{pmatrix} -5\\4\\3\\-5 \end{pmatrix} \) raus oder habe ich mich da verrechnet ?