Question

Ist die folgende Abbildung injektiv, surjektiv, bijektiv?

 f1: N->N, n->n^4

Begründen Sie die Antwort

Answer 1

Injektiv ja; denn wenn   n^4 = m^4 für n,m ∈ ℕ

dann gilt (n^4 - m^4) = 0

<=> (n^2-m^2)*(n^2  + m^2 ) = 0

<=> (n^2-m^2) = 0  oder  (n^2  + m^2 ) = 0

<=> (n-m) = 0  oder n+m = 0    oder  (n^2  + m^2 ) = 0

Die letzten beiden sind nur möglich für n=m=0

und das erste für n=m .

Also jedenfalls  n=m , aslo f Injektiv.

surjektiv nicht , da z.B.   n^4=3

in ℕ nicht möglich ist.