Zwei weitere Ebenen, die zu der Ebene einen Abstand von 3 haben?

Question

Aufgabe: bestimmen Sie zwei weitere Ebenen, die zu der Ebene einen Abstand von 3 haben.

\( \begin{pmatrix} 2\\8\\-5 \end{pmatrix} \) + t \( \begin{pmatrix} 4\\2\\3 \end{pmatrix} \) + s \( \begin{pmatrix} 3\\4\\1 \end{pmatrix} \)

So lautet die Ebene

Comments

 Die Berechnung habe ich so durchgeführt

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So lautet die Ebene

Hier solltest du eine Gleichung angeben (Gleichheitszeichen usw. und Definitionsbereich der Parameter gehören dazu). (Auch wenn man verstehen kann, was du meinst).

Die Berechnung habe ich so durchgeführt

Schreibe dazu, was du hier berechnest. Das könnten Hilfsvektoren zur Berechnung des neuen Stützpunktes sein.

Answer 1

Die parallelen Ebenen können die gleichen Richtungsvektoren haben.

\( \begin{pmatrix} 4\\2\\3 \end{pmatrix} \) ×\( \begin{pmatrix} 3\\4\\1 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} -10\\5\\10 \end{pmatrix} \)  dessen Länge ist 15. Vom durch den Ortsvektor gegebenen Punkt weist 1/5 dieses Vektors nämlich \( \begin{pmatrix} -2\\1\\2 \end{pmatrix} \) oder die Gegenrichtung auf einen Punkt der gesuchten Ebenen, der dann zum  Ortsvektor wird.

Comments

Wenn ich die Ergebnisse vergleiche Lage ich wohl richtig mit meiner Rechnung. Aber ich verstehe nicht ganz wie ich es als Ebene angeben soll? Reicht wenn ich es in der Koordinatenform angebe z.b -2x+y+2z=0

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@Roland

Das steht doch alles schon in der Rechnung des Fragestellers. Sein eigentliches Problem ist doch der Abstand 3 der gesuchten parallelen Ebenen.

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@Darkknight

Lass die Richtungsvektoren so, wie sie  sind und addiere \( \begin{pmatrix} 2\\8\\-5\end{pmatrix} \) ±\( \begin{pmatrix} -2\\1\\2 \end{pmatrix} \) . Dann hast du zwei neue Ortsvektoren.

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wo kommt das Konstrukt her bzw. die Formel?

gruß

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wo kommt das Konstrukt her

Das resultiert aus der Anschauung. Um eine Ebene zu erhalten, die 3LE von der gegebenen Ebene entfernt ist muss man eben die gegebene Ebene um 3LE senkrecht zur Ebene verschieben. Und das erreicht man indem man den Stützvekor \((2|\, 8|\, -5)\) senkrecht zur Ebene - d.h. in Richtung des Normalenvektors - verschiebt. Der Vektor \((-2|\,1|\,2)\) hat genau die Länge 3LE.

Answer 2

 du hast den Normalenvektor  \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)  richtig berechnet.

Für seinen Betrag gilt    \(\vec{n} = \sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}= 3\)

\(\vec{n_0} = \frac{1}{3}·\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) ist also ein Normaleneinheitsvektor und  \(\vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix}\) ein Stützvektor der Ebene.

Damit kann man die Hesse-Normalform \( \vec{n_0}· \vec{x} - \color{blue}{\vec{n_0} ·\vec{a}}=0\)  der Ebene E angeben.

Der Betrag dieses Terms gibt in der HNF jeweils den Abstand der Ebene vom Ursprung an.

\(\text{HNF: }\frac{1}{3}·\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} ·\vec{x}- \color{blue}{\frac{1}{3}·\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix}}=0\)

            \(\frac{1}{3}·\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} ·\vec{x} - \color{blue}{(-2)} = 0 \)

Die beiden gesuchten zu E parallelen Ebenen haben daher die Gleichungen:

\( \frac{1}{3}·\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} ·\vec{x} -  (-2+3)= 0 \text{ }⇔ \text{ } \color{green}{\frac{1}{3}·\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} ·\vec{x} - 1= 0} \)

\( \frac{1}{3}·\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} ·\vec{x}-  (-2-3)= 0 \text{ }⇔ \text{ } \color{green}{\frac{1}{3}·\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} ·\vec{x} + 5 = 0} \)

Gruß Wolfgang