Anfangswertproblem: y ′ = tan^2 (x + y)

Question

mir bereitet diese Aufgabe Probleme.

Lösen Sie das AWP
y′ = tan²(x + y)       ,     y(π/2) = π

Ich weiß absolut nicht wie ich an die Sache rangehen soll. Vielleicht

Vielen Dank.

Answer 1

Substituiere:

z=x+y

y=z-x

y'= z'-1

eingesetzt in die Aufgabe:

z'-1= tan^2(z)->Trennung der Variablen

Resubstitution und zum Schluß Einsetzen der AWB.

Answer 2

substituiere x+y=z, 1+y'=z' , y'=z'-1

alles einsetzen:

z'-1=tan^2(z)

z'=tan^2(z)+1=1/cos^2(z) , separierbare DGL

dz*cos^2(z)=dx

integrieren, links mit partieller Integration

1/4(2z+sin(2z))=x+const

2z+sin(2z)=4x+const

Rücksubstituieren:

2(x+y)+sin(2(x+y))=4x+C

2y+sin(2(x+y))=2x+C

AWB einsetzen → C=π

Explizit nach der Funktion y kann man nicht auflösen.