Induktionsschritt mit Größerzeichen

Question

Aufgabe:

Ich versuch gerade bei einer vollständigen Induktion, den Induktionsschritt hinzubekommen.

I.S n -> n+1

5^n * 5 > n*3^n *5 <- gilt laut Induktionshypothese

Irgendwie komm ich hier nicht mehr weiter. Wie könnte ich das Umformen, damit man sieht das die linke größer als die rechte Seite ist?

Answer 1

zeigen willst du scheint's  5^n > n*3^n

Dazu nimmst du für ein n an, dass gilt  5^n > n*3^n

und willst daraus schließen  5^(n+1) > (n+1)*3^(n+1)

und hast wohl so angefangen  5^n > n*3^n

==>      5^n * 5 > n*3^n *5

Dann könnte es so weiter gehen

==>  5^(n+1) > 5n*3^n

 ==>  5^(n+1) > (3n+2n)*3^n

 ==>  5^(n+1) > 3n*3^n +2n*3^n  = n*3^(n+1)  +2n*3^n

nun ist aber für n>1 jedenfalls 2n > 3 also

 ==>  5^(n+1) >    n*3^(n+1) +  3^(n+1)  = (n+1)*3^(n+1) .

q.e.d.