Induktionsschritt bei Ungleichungen

Question

Aufgabe:

Für welche n ∈ ℕ ist die folgende Ungleichung richtig?

5n - 7 < 2^n

Problem/Ansatz:

Hier muss man eine vollständige Induktion machen.

Mein Ansatz wäre folgendes:

Induktionsanfang:

n > 3, n = 4

5*4 -7 = 13       2^4 = 16       13<16.

Induktionsschritt:

5(n+1) -7 = 5n + 5 -7 = 5n -2

Und hier weiß ich nicht mehr weiter. Was ich muss ich jetzt machen für den Induktionsschritt?

Comments

\(\text{IS}\):  2ⁿ⁺¹ = 2·2ⁿ > 2·(5n - 7) = 5n + 5n - 14 > 5n + 12 - 14 = 5(n+1) - 7.
Die Ungleichung gilt aber auch für n = 1 und n = 2.

Answer 1

\(\begin{aligned}&5(n+1) -7\\=\ & 5n + 5 -7 \\=\ & 5n - 7 + 5 \\<\ & 2^n + 5\end{aligned}\)

Comments

Ich verstehe die letzten zwei Schritte nicht, könntest du das erklären?

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Vorletzter Schritt

Es ist \(5n + 5 - 7 = 5n + 5 + (-7)\) wegen der Definition "Subtraktion ist Addition der Gegenzahl".

Der Term \(5n + 5 + (-7)\) kann mittels Kommutativgesetz umgeformt werden zu \(5n + (-7) + 5\).

Erneute Anwendung von "Subtraktion ist Addition der Gegenzahl" macht aus \(5n + (-7) + 5\) den Term \(5n -7 + 5\).

Letzter Schritt

Es wurde die Induktionsvoraussetzung \(5n -7 < 2^n\) angewendet: wenn

        \(5n -7 < 2^n\)

ist, dann ist auch

    \(5n - 7 + 5< 2^n + 5\).

Das gilt wegen der Verträglichkeit der Anordnung mit der Addition.