Basis beweisen Mathematik

Question

Geben für folgende R-Vektorräume jeweils eine Basis an (natürlich mit Beweis):
(a) U := { ( a,b,c) ∈ R³ | a = c }
.(b) V :={a,b,c,d  }∈ R^4  |    a + 3b + 2d = 0 ∧ 2a + b + c = 0 }
(c) W := lin ({X², X + X², 1 + X², 1 + X + X², X^5 + X^7}) ⊆ R[X].

ich kann nicht auf die Lösung zu recht komme ich bitte euch mir zu helfen

danke im voraus

Answer 1

U := { ( a,b,c) ∈ R³ | a = c }
Die sehen also alle so aus   (a,b,a) = a*(1,0,1) + b*(0,1,0)

somit ist { (1,0,1),(0,1,0)} eine Basis. Beweise, dass man mit

ihr alle Elemente von U darstellen kann, und dass sie lin. unabh. sind.

V :={a,b,c,d  }∈ R4  |    a + 3b + 2d = 0 ∧ 2a + b + c = 0 }

wenn man a und b frei wählt, hat man

            d = -0,5a - 1,5b  und   c= -2a - b

also sehen die so aus:

( a;b;-0,5a - 1,5b; -2a - b )=a*(1;0;-0,5;-2)+b*(0;1;-1,5;-1)

weiter wie oben

c) {X², X + X², 1 + X², 1 + X + X², X^5 + X^7} ist jedenfalls ein Erz.system.

1 + X + X² ist aber sicherlich durch die ersten 3 darstellbar,

muss also in einer Basis fehlen.

Die restlichen sind aber (glaube ich) lin. unabh. , bilden also

eine Basis .