2 Bedingung einer Basis beweisen/ prüfen

Question

Aufgabe: Bilden diese drei Vektoren eine Basis des R³ ?

\( \overrightarrow{a_{1}}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \overrightarrow{a_{2}}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \overrightarrow{a_{3}}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ -3\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Es gibt ja 2 Bedingungen. Als erstes die lineare Unabhängigkeit und dann das alle Vektoren aus diesen 3 Vektoren gebildet werden können.

Lineare Unabhängigkeit:

(Ich benenne a₁ bis a₃ um in a,b,c, wegen dem Schreiben hier)

I:          a +      2c = 0

II:         a + b - c   = 0

III:               b - 3c = 0

I':        a = -2c

III':      b = 3c

Einsetzen:

-2c + 3c - c = 0

                0 = 0

Also ist c ja frei wählbar. Aber ist das schon der Beweis, dass sie linear unabhängig sind?

Weil eigentlich muss ja a = b = c = 0 gelten dafür, oder?

Und wie prüft man im Allgemeinen die zweite Bedingung?

Im Skript stand nur das Folgende:

Es sei V ein Vektorraum. Eine Menge linear unabhängiger Vektoren ~a 1 , ~a 2 , . . . , ~a k , die den
gesamten Vektorraum V erzeugen, nennt man eine Basis des Vektorraumes. Für eine Basis
gelten also folgende zwei Eigenschaften:

a) \( V=\left[\vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \ldots, \vec{a}_{k}\right] \)
b) \( \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \ldots, \vec{a}_{k} \) sind linear unabhängig.

Es wurde explizit gezeigt, wie man die Unabhängigkeit prüfen kann, aber nicht das andere...

Kann mir jemand erklären wie man das bei diesem Beispiel nachweisen kann?

Oder generell die Vorgehensweise erklären?

Gruß

~naili

Answer 1

Aloha :)

Tage die 3 Vektoren in eine Matrix ein und bilde davon die Determinante. Wenn sie \(\ne0\) ist, hast du eine Basis, sonstt nicht.$$\left|\begin{array}{r}1 & 0 & 2\\1 & 1 & -1\\0 & 1 & -3\end{array}\right|=-3+1+2=0$$Die 3 Vektoren bilden also keine Basis.

Hintergrund: Die Determinante liefert das Volumen des von den Vektoren in ihr aufgespannten Volumens. Wenn das Ergebnis 0 ist, wird kein Volumen aufgespannt. Die 3 Vektoren liegen dann in einer Ebene.

Comments

Okay ich wusste nicht, dass man das mit der Determinante machen kann.

Aber wäre bei dieser Rechnung nicht:

1 * 1 * (-3) + 0 * (-1) * 0 + 2 * 1 * 1 = 0

(ich hab grad gegoogelt und auf der Seite gefunden: https://www.mathebibel.de/determinante-berechnen, wie man überhaupt die Determinante rausbekommt, weil ich das noch nie hatte.)

Wäre nach dem Vorgehen die Rechnung nicht: -3 + 0 + 2 = 0

                                                                                        -1 = 0

Und damit doch eine Basis?

Und kann man das immer so prüfen mit der Determinante? Also wenn gefragt ist: "bilden diese Vektoren eine Basis", erst prüfen wie ich oben, ob das linear unabhängig ist und danach die Determinante bestimmten um zu schauen ob sie ein Volumen aufspannen.

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Bei der Determinante musst du das Vorzeichen bei jeder zweiten Unterdeterminante wechseln (Schachbrett-Regel). Wenn du die Determinante noch nicht hattest, würde ich sie auch nicht zum Prüfen der Basis heranziehen. Vergiss die Lösung am besten direkt wieder.

Es gibt noch ein anderes, einfaches Verfahren zur Prüfung, ob du es mit einer Basis zu tun hast. Ich war nur zu faul, das zu tippen. Schreibe die Vektoren als Spalten in eine Matrix und bringe diese Matrix dann auf Dreieckform. Wenn dabei Nullspalten entstehen, hast du keine Basis:

$$\left(\begin{array}{r}& & -2S_1\\\hline1 & 0 & 2\\1 & 1 & -1\\0 & 1 & -3\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}& & +3S_2\\\hline1 & 0 & 0\\1 & 1 & -3\\0 & 1 & -3\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 0\end{array}\right)$$Du hast nun einen Vektor mit Hilfe aller anderen elemenieren können. Also sind die Vektoren voneinander abhängig und können daher keine Basis sein.

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Ah okay. Also einfach ne normale Matrix wieder bilden.  Aber ist das nicht das gleiche wie ich oben schon in Nicht-Matrix-Schreibweise gemacht habe?

War das ganz unnötig, dass ich die drei Vektoren mit dem Nullvektor gleichgesetzt habe?

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Das Gleichsetzen der Linearkombination mit dem Nullvektor funktioniert natürlich auch. Sobald du einen frei wählbaren Parameter hast, sind die Vektoren linear abhängig. Aber die Methode mit dem \(=0\)-Setzen ist in der Regel aufwändig, weil du ein lineares Gleichungssystem lösen musst. Bei 3 Vektoren geht das noch, aber wenn es mehr werden, wird das schnell fummelig und fehleranfällig.

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Achso also führen beide Wege zum gleichen Ziel. Vielen dank!

Aber die erste Bedingung a) wird damit nicht automatisch bewiesen oder?

Weil wie du sagst, beweist ja das Lösen der Matrix, dass das Volumen in diesem Fall 0 ist, also eine Ebene aufspannen (voneinander abhängig sind). Aber Für den Beweis einer Basis braucht man ja die lineare Unabhängigkeit und der Beweis, dass es ein Erzeugendensystem bildet, also, dass man jeden beliebigen Vektor darstellen kann mit diesen drei Vektoren.

Oder ist es automatisch ein Erzeugendensystem wenn man die lineare Unabhängigkeit bewiesen hat? ( also generell, in diesem Beispiel würde das ja das Gegenteil sein)

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Eine Basis ist ein Erzeugendensystem, das nur linear unabhängige Vektoren enthält. Die Anzahl der Vektoren in der Basis ist die Dimension. Im 3-dimensionalen Raum brauchst du daher genau 3 Vektoren in der Basis, die den Raum aufspannen.

Wenn das aufgespannte Volumen von Null verschieden ist, müssen die 3 Vektoren den Raum, d.h. wenn die Determinante \(\ne0\) ist, handelt es sich sicher um eine Basis.