Lineare Unabhängigkeit und Basis

Question

Aufgabe:

Lineare Unabhängigkeit und Basis

Gegeben seien die folgenden Vektoren eines Unterraums des R5 : (2 2 0 0 2), (0 2 2 0 2), (0 0 2 2 0), (0 0 0 2 0).
Bitte untersuchen Sie, ob sie linear unabhängig sind.
Ein vier-dimensionaler Unterraum des R5 enthalte diese Vektoren. Bitte geben Sie eine Basis dieses Unterraums an (mit Beweis).

Answer 1

Da die Vektoren in der Zeilen-Stufen-Form vorliegen, kann man direkt sehen das sie linear unabhängig sind. Wir könnten die Basis noch vereinfachen.

[2,2,0,0,2]
[0,2,2,0,2]
[0,0,2,2,0] III - IV
[0,0,0,2,0]

[2,2,0,0,2]
[0,2,2,0,2] II - III
[0,0,2,0,0]
[0,0,0,2,0]

[2,2,0,0,2] I - II
[0,2,0,0,2]
[0,0,2,0,0]
[0,0,0,2,0]

[2,0,0,0,0] :2
[0,2,0,0,2] :2
[0,0,2,0,0] :2
[0,0,0,2,0] :2

[1,0,0,0,0]
[0,1,0,0,1]
[0,0,1,0,0]
[0,0,0,1,0]

Comments

Vielen Dank hast du auch die Basis ?

---

Ist nicht (2 2 0 0 2), (0 2 2 0 2), (0 0 2 2 0), (0 0 0 2 0) bereits eine Basis des Untervektorraums?

Ansonsten vereinfacht eben auch [1,0,0,0,0], [0,1,0,0,1], [0,0,1,0,0], [0,0,0,1,0].