Basis, lineare Unabhängigkeit

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { Gegeben sind die folgenden Vektoren } v_{1}, v_{2}, v_{3} \in \mathbb{R}^{3} \text { : }} \\ {\qquad v_{1} :=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}{1} \\{-1} \\ {0}\end{array}\right), \quad v_{2} :=\left(\begin{array}{c}{0} \\ {1} \\ {-1}\end{array}\right), \text { sowie } v_{3} :=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right)} \\ {\text { a) Zeigen Sie, dass das Tupel }\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \text { eine Basis des } \mathbb{R}^{3} \text { ist. }} \\ {\text { b) Bestimmen Sie ausgehend von }\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \text { mit dem Orthonormalisierungsverfahren von Gram- }} \\ {\text { Schmidt eine Orthonormalbasis des } \mathbb{R}^{3} \text { . }}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}  \\ 0\end{pmatrix} x_{1}+\begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix} x_{2}+\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}x_{3} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$

x₃=x₃, x₂=x_3,

x₁=2x₃*\( \sqrt{2} \)

alles in 1. Gleichung, x₃=0 => x₂=0 =>x₁=0  => lineare unabh.

Wie gehe ich nun weiter vor um auf EZS zu prüfen?

und bei b?

Answer 1

Ja, sie sind linear unabhängig. Du kannst auch das ganze mit dem Gauß lösen und kommst auch so auf x₁=x₂=x₃=0.

Bei Gram-Schmidt musst du nur in die Formel einsetzen:

$$ w_n=v_n - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\langle w_k, v_n\rangle}{\langle w_k, w_k\rangle}w_k $$

Dabei ist ⟨.,.⟩ das Standardskalarprodukt auf ℝ³. Für den Anfang wählst du dir einen Vektor deiner Wahl von oben aus, zB. v₁. Damit hast du schomal nach der Formel w₁=v₁. Für w₂ hast du:

$$ w_2=v_2 - \sum_{k=1}^{1} \frac{\langle w_k, v_2\rangle}{\langle w_k, w_k\rangle}w_k=v_2-\frac{\langle w_1, v_2\rangle}{\langle w_1, w_1\rangle}w_1 $$

Und für w₃ entsprechend:

$$ w_3=v_3 - \sum_{k=1}^{2} \frac{\langle w_k, v_3\rangle}{\langle w_k, w_k\rangle}w_k=v_2-\frac{\langle w_1, v_2\rangle}{\langle w_1, w_1\rangle}w_1-\frac{\langle w_2, v_3\rangle}{\langle w_2, w_2\rangle}w_2 $$

Und als Probe kannst du dann von den drei Vektoren w₁,w₂,w₃ das Skalarprodukt bilden, um zu schauen, ob immer 0 rauskommt.

Comments

Hätte ich beim Gauss einfach in Zeilenstufenform bringen können?

Dachte ich verändere damit das Ergebnis.

Danke.

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Auf wikipedia gesehen, dass man die Vektoren, dann noch normalisiert?

Und sie dann erst Vektoren für weitere Berechnungen sind.

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Genau. Hier hatte ich erstmal nur das 'Orthogonalisierungsverfahren' beschrieben. Um aber eine Orthonormalbasis zu bekommen, müssen w₁,w₂,w₃ noch normiert werden.