Ergänze das Ergebnis zu einer Orthonormalbasis / lineare unabhängigkeit

Question

Aufgabe:

Orthonormalbasis im R4 erstellen mit 3 Vektoren

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits das Gram-Schmidtische Orthogonalisierungsverfahren angewendet und Ergebnisse für q1,q2 und q3 erhalten. Diese habe ich auch normalisiert und jetzt muss ich aus denen einen linear unabhängigen Vektor erstellen weil ich für die Basis 4 Vektoren brauch und ich weiß nicht wie ich das mache.

Meine bereits normalisieren Vektoren sind :

\( \left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{6} \\ \frac{\sqrt{3}}{6} \\ \frac{\sqrt{3}}{6} \\ \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right) ;\left(\begin{array}{c}\frac{5}{6} \\ \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6}\end{array}\right) ;\left(\begin{array}{c}0 \\ -\frac{\sqrt{6}}{3} \\ -\frac{\sqrt{6}}{6} \\ \frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right) \)

Answer 1

Aloha :)

Du suchst einen Vektor \((a,b,c,d)^T\), der orthogonal auf allen 3 bekannten Vektoren steht:

$$\frac{\sqrt3}{6}\begin{pmatrix}1\\1\\1\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=\vec 0\quad;\quad\frac{1}{6}\begin{pmatrix}5\\1\\-3\\-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=\vec 0\quad;\quad\frac{\sqrt6}{6}\begin{pmatrix}0\\-2\\-1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=\vec 0$$Die Normierungsfaktoren habe ich erst mal ausgeklammert, die sind viel Tipperei und wir können den gefunden Vektor am Ende normieren. Diese 3 Gleichungen (ohne Normierungsfaktoren) können wir als lineares Gleichungssystem schreiben:

$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 3\\5 & 1 & -3 & -1\\0 & -2 & -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=\vec 0$$Als Lösung dieses Gleichungssystem erhalte ich:

$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-3\\1\end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad \vec q_4=\frac{1}{\sqrt{18}}\begin{pmatrix}-2\\2\\-3\\1\end{pmatrix}$$